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» » Los espacios entre números primos van creciendo

Referencia: Quanta Magazine.org .
“Prime Gap Grows After Decades-Long Lull”
por Erica Klarreich, 10 de diciembre 2014

En mayo de 2013, el matemático Yitang Zhang puso en marcha un estudio que ha demostrado ser un gran año y medio para los números primos, esos números que no son divisibles por ningún número más pequeño excepto 1. Zhang, de la Universidad de New Hampshire, demostró por primera vez que a pesar de que los números primos se hacen cada vez más raros a medida que se avanza a lo largo de la línea de números, nunca se dejan de encontrar pares de primos que guardan una distancia determinada única, en 70 millones, él lo ha demostrado. Decenas de matemáticos han unido sus habilidades para mejorar los 70 millones de Zhang, dejándolo en 246, a corta distancia de la celebrada conjetura de números primos gemelos, que postula que hay infinitos pares de primos cuya diferencia es 2.

Paul Erdös, izquierda, y Terence Tao, hablan sobre matemáticas en 1985. Ilustración por Olena Shmahalo / Quanta Magazine; cortesía Terence Tao.
Ahora, los matemáticos han hecho el primer avance sustancial en 76 años sobre la cuestión inversa: ¿A qué distancia pueden estar los primos consecutivos? La separación media entre primos se acerca al infinito conforme se viaja por la línea numérica, aunque en cualquier lista finita de números, la mayor espacios entre dos números primos consecutivos podría ser mucho mayor que el promedio. Nadie ha sido capaz de establecer cuán grande pueden ser esas espacios.

Olena Shmahalo / Quanta Magazine. Espacios entre primos.
"La cuestión es muy obvia, una de las primeras cosas que uno puede preguntar acerca de los números primos", dijo Andrew Granville, teórico de la Universidad de Montreal. "Pero la respuesta ha estado más o menos estancada desde hace casi 80 años."

En agosto pasado, dos grupos distintos de matemáticos liberaron unos trabajos que demuestran una conjetura hecha hace bastante tiempo por el matemático Paul Erdös sobre cuán grandes se pueden obtener estas espacios entre números primos consecutivos. Los dos equipos se han unido para fortalecer su resultado respecto a la separación de estos primos y esperan publicar un nuevo documento a finales de este mes.

Erdös, que fue uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX, se planteó cientos de problemas matemáticos a lo largo de su vida, y sentía predilección por ofrecer premios en efectivo por solucionarlos. Aunque tales premios eran normalmente de sólo $ 25, Erdös ("un tanto precipitadamente", tal como más tarde escribió) ofreció un premio de $ 10.000 por la solución a su conjetura de números primos, con mucho, el premio más grande que jamás ofreció.

La conjetura de Erdös se basa en un aspecto extraño de estos espacios entre números primos ideado en 1938 por el matemático escocés Robert Alexander Rankin. Para una cantidad suficiente de números X, Rankin demostró, al menos, el mayor espacio entre primos consecutivos por debajo de X.



Las fórmulas de la teoría de números son conocidas por tener muchos "logs" (abreviatura de logaritmo natural), señala Terence Tao, de la Universidad de California, Los Ángeles, que escribió uno de los dos nuevos estudios, junto a Kevin Ford de la Universidad de Illinois, Urbana-Champaign, Ben Green, de la Universidad de Oxford y Sergei Konyagin, del Instituto de Matemáticas Steklov de Moscú. De hecho, los teóricos de números tienen una broma favorita, comentaba Tao: ¿Qué dice un teórico de números que se está ahogando? "Log log log log ..."

Terence Tao, de la Universidad de California,
Los Ángeles, dijo que ha podido resolver
el problema de Erdős. UCLA
Pese a todo, el hallazgo de Rankin es "una fórmula ridícula, que nunca esperarías que se mostrara de forma natural", añadió Tao. "Todo el mundo pensaba que se podría mejorar con rapidez, sólo porque es muy rara". Sin embargo, la fórmula de Rankin ha resistido a todo, salvo algunas pequeñas mejoras, durante más de siete décadas.

Muchos matemáticos creen que el verdadero tamaño de estos grandes espacios entre primos consecutivos es probablemente mucho más grande, más en el orden de (log X)^2, una idea planteada por primera vez por el matemático sueco Harald Cramér en 1936. Los espacios de tamaño de (log X)^2 son lo que ocurriría si los números primos se comportaran como una colección de números aleatorios, que en muchos aspectos es lo que parecen. Pero nadie se ha acercado a probar la conjetura de Cramér, dijo Tao. "Simplemente, no entendemos muy bien los números primos."

Erdős hizo una conjetura más modesta: Debería ser posible, dijo, reemplazar un tercio de la fórmula de Rankin por el mayor número que uno quiera, con tal de alargarse lo suficiente por la línea numérica. Eso significaría que los espacios entre primos pueden ser mucho más grandes que en la fórmula de Rankin, aunque siguen siendo menores que en la conjetura de Cramér.

Las dos nuevas pruebas de la conjetura de Erdős están ambas basadas en una simple manera de construir grandes espacios entre primos. Un gran espacio entre primos es lo mismo que una larga lista de números no primos, o "compuestos" entre dos números primos. He aquí una manera fácil de construir una lista de, digamos, 100 números compuestos consecutivos: Comencemos con los números 2, 3, 4, ..., 101, añadimos a cada una de ellos el número factorial 101 (el producto de los primeros 101 números, se escribe 101! ). La lista se convierte entonces en 101! + 2, 101! + 3, 101! + 4, ..., 101! + 101. Ya que el 101! es divisible por todos los números desde el 2 al 101, cada uno de los números de la nueva lista está compuesto: 101! + 2 es divisible por 2, 101! + 3 que es divisible por 3, y así sucesivamente. "Todas las pruebas sobre grandes espacios entre primos utilizan tan sólo ligeras variaciones sobre esta construcción de escuela secundaria", decía James Maynard de Oxford, que escribió el segundo de los dos estudios.

Los números compuestos a la lista de arriba son enormes, ya que 101! tiene 160 dígitos. Para mejorar la fórmula de Rankin, los matemáticos tenían que demostrar que las listas de números compuestos aparecen mucho antes en la línea numérica, que es posible añadir un número mucho menor a una lista como 2, 3, ..., 101, y de nuevo obtener sólo números compuestos. Ambos equipos hicieron esto mediante la explotación de resultados recientes --otros diferentes en cada caso-- sobre los patrones de separación de los números primos. En un giro agradable, el estudio de Maynard usó herramientas que él mismo desarrolló el año pasado, para entender los pequeños espacios entre números primos.

Los cinco investigadores que ahora se han unido para afinar sus nuevos límites, y planean para publicarlo dentro de una semana o dos, Tao presume que va a empujar el método básico de Rankin lo más lejos posible, utilizando las técnicas disponibles en la actualidad.

James Maynard, de la Universidad
de Oxford. por Eleanor Grant.
El nuevo trabajo no tiene aplicaciones inmediatas, aunque la comprensión de los grandes espacios entre primos podrían, en última instancia, tener implicaciones para los algoritmos de criptografía. Si no salen para ser los más largos números primos libres que predice la conjetura de Cramér, al menos, podrían aliviar el problema de los algoritmos de criptografía, que dependen de encontrar números primos grandes, señaló Maynard. "Si tienen mala suerte y empiezan a testear números primos al principio de un gran espaciado, el algoritmo podría tardar mucho tiempo en ejecutarse."

Tao tiene una motivación más personal para el estudio de los espacios entre primos. "Después de un tiempo, estas cosas que se burlan en tu cara", dijo. "Se supone que eres un experto en números primos, pero hay preguntas básicas que no puedes responder, a pesar de que la gente ha estado pensando en ello durante siglos."

Erdős murió en 1996, pero Ronald Graham, un matemático de la Universidad de California, San Diego, y que colaboró extensamente con Erdös, se ha ofrecido a poner un premio de $ 10.000. Tao está jugando con la idea de crear un nuevo premio para cualquier persona que haga una mejora suficientemente grande al último resultado, dijo.

En 1985, Tao, entonces un niño prodigio de 10 años, se reunió con Erdős en un evento de matemáticas. "Me trataba como a un igual", recordó Tao, que en 2006 ganó una medalla Fields, ampliamente considerada como el más alto galardón en matemáticas. "Me habló de la importancia de las matemáticas para mí". Este es el primer problema premiado por Erdős que Tao ha sido capaz de resolver, apuntó. "Así que, me siento bien."

Un reciente progreso en la comprensión de los pequeños y grandes espacios entre primos ha dado lugar a una generación de teóricos de números que sienten que todo es posible, subrayó Granville. "Antes, cuando yo estaba creciendo matemáticamente, pensábamos que conformaban ese tipo de preguntas eternas que no veríamos contestadas hasta otra era; pero creo que las actitudes han cambiado en los últimos uno o dos años. Hay una gran cantidad de jóvenes que son mucho más ambiciosos que en el pasado, porque han visto que se pueden hacer avances enormes."


- Imagen 1. Paul Erdös, izquierda, y Terence Tao, hablan sobre matemáticas en 1985. Ilustración por Olena Shmahalo / Quanta Magazine; cortesía Terence Tao
- Imagen.2. Olena Shmahalo / Revista Quanta (GAPS PRIME)
- Imagen.3. log fórmula.png
- Imagen.4 Terence Tao, de la Universidad de California, Los Ángeles, dijo que ha podido resolver el problema de Erdős. UCLA ----
- Imagen.5 James Maynard, de la Universidad de Oxford, escribió el segundo estudio que demuestra la conjetura de Erdős sobre grandes espacios entre primos. Eleanor Grant.
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