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» » Músico, mago y teórico de los números: Manjul Bhargava

 por Erica Klarreich, 12 de agosto 2014

La búsqueda de la verdad y la belleza ha llevado a Manjul Bhargava a algunos de los más profundos y recientes descubrimientos en la teoría de números.

Manjul Bhargava, crédito Infosys Science Foundation
Para Manjul Bhargava, el recuento de números no se trata sólo de alinearlos en una recatada fila. En vez de eso, ocupan posiciones en el espacio, en las esquinas de un cubo de Rubik, o en el diseño bidimensional del alfabeto sánscrito, o en un montón de naranjas traídas del supermercado. Y se mueven a través del tiempo, en los ritmos de un poema sánscrito o una secuencia de una tabla de percusión.

Los gustos matemáticos de Bhargava, formados desde sus primeros días, se enraizan con la música y la poesía. Se acerca a los tres reinos con el mismo objetivo, como él dice: "para expresar verdades sobre nosotros mismos y el mundo que nos rodea."

El matemático de voz suave, juvenil, podría fácilmente ser confundido con un estudiante de pregrado. Proyecta una tranquila cordialidad que hace olvidar que tiene 40 años, está ampliamente considerado como uno de lasimponentes figuras matemáticas de su época. "Él es muy modesto", dice Benedict Gross, matemático de Harvard, que conoció a Bhargava desde sus últimos días de estudiante. "Él no tiene un gran concepto de sí mismo."

Sin embargo, la búsqueda de la verdad y la belleza ha llevado a Bhargava, profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton, a algunos de los más recientes y profundos descubrimientos en la teoría de números, la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los números enteros. En los últimos años, ha dado grandes pasos hacia la comprensión de una gama de posibles soluciones a las ecuaciones conocidas como curvas elípticas, que han asolado a los teóricos de números desde hace más de un siglo.

"Su trabajo es lo mejor a nivel mundial", dijo Ken Ono, un teórico de números de la Universidad de Emory en Atlanta. "Está haciendo época."

Bhargava ha sido uno de los cuatro galardonados este año con la Medalla Fields, ampliamente considerada como el más alto honor en matemáticas.

Bhargava "vive en el mundo maravilloso y etéreo de la música y el arte", dijo Gross. "Él flota por encima de las preocupaciones normales de la vida cotidiana. Y todos nosotros estamos maravillados con la belleza de su trabajo ".

Andrew Granville, teórico de la cantidad en la Universidad de Montreal, dice de él que, "tiene su propia perspectiva de lo que es muy simple en comparación con los demás ... De alguna forma, él extrae ideas que son completamente nuevas o recombinadas de alguna manera que lo cambian todo. Pero él todo lo siente muy natural y no forzado, es como si descubriera la manera correcta de pensar."

Músico

Desde su primera infancia, Bhargava ya mostraba una intuición matemática notable. "Enséñame más matemáticas", acosaba a menudo a su madre, Mira Bhargava, profesora de matemáticas en la Universidad de Hofstra en Hempstead, N.Y. Cuando sólo tenía 3 años y era un típico niño travieso, su madre descubrió que la mejor manera de evitar que rebotara por las paredes era pedirle que sumara o multiplicara números grandes.

"Era la única manera de que se quedara quieto", recordó ella. "En lugar de utilizar papel y lápiz, volteaba sus dedos hacia atrás y hacia adelante y luego me daba la respuesta correcta. Siempre me pregunté cómo lo hacía, pero él no me lo decía. Tal vez era demasiado intuitivo para explicarlo."

Bhargava veía matemáticas por todas partes donde miraba. A los 8 años, se convirtió en curiosidad por la cantidad de naranjas que podía apilar en pirámides antes de entrar en el exprimidor familiar. ¿Habría una fórmula general para ese número de naranjas en una pirámide así? Después de luchar con esta cuestión durante varios meses, logró averiguarlo: Si un lado de una pirámide triangular tiene longitud n, el número de naranjas de la pirámide es n(n+1)(n+2)/6 . "Eso fue un momento emocionante para mí", comentó. "Me encantó el poder predictivo de las matemáticas."

Él se aburrió pronto de la escuela y empezó a preguntar a su madre si podía ir a trabajar con ella. "Ella siempre lo vio bien esto", recordó. De esta manera, exploró la biblioteca de la universidad y paseaba por el jardín botánico. Y, por supuesto, asistía a las clases de matemáticas de nivel universitario de su madre. En su clase de probabilidad, a los 8 años de edad, corregía a su madre cuando cometía un error. "Los estudiantes realmente disfrutaban de eso", dice Mira Bhargava.

Cada pocos años, la madre de Bhargava lo llevaban a visitar a sus abuelos en Jaipur, India. Su abuelo, Purushottam Lal Bhargava, era el jefe del departamento de Sánscrito de la Universidad de Rajasthan, y Manjul Bhargava creció leyendo las matemáticas antiguas y textos poéticos en sánscrito.

Para su deleite, descubrió que los ritmos de la poesía sánscrita son altamente matemático. Bhargava es aficionado a explicar a sus alumnos que por los antiguos poetas sánscritos averiguó el número de diferentes ritmos, mediante un número determinado de golpes que se pueden ir construyendo usando combinaciones de sílabas largas y cortas: Este número es el correspondiente al que los matemáticos occidentales llaman la sucesión de Fibonacci++. Incluso el alfabeto sánscrito tiene una estructura matemática inherente, según descubrió Bhargava: Sus primeras 25 consonantes forman una matriz de 5 por 5 donde una dimensión especifica es el órgano del cuerpo donde se origina el sonido y la otra dimensión especifica es la calidad de modulación. "El aspecto matemático me entusiasmó", señaló.

A petición de Bhargava, su madre comenzó a enseñarle a tocar la tabla, un instrumento de percusión compuesto de dos tambores de manuales, cuando tenía 3 años (también toca el sitar, la guitarra y el violín). "Me gustaba la complejidad de los ritmos", dijo, que están estrechamente relacionados con los ritmos de la poesía sánscrita. Con el tiempo, Bhargava se fue convirtiendo en un intérprete consumado, incluso estudió la tabla con el legendario Zakir Hussain en California. Actuó en salas de conciertos de todo el país e incluso en el Central Park de Nueva York.

"Es un músico excelente que ha llegado a un nivel técnico muy alto", dice Daniel Trueman, profesor de música en Princeton, que colaboró ​​con Bhargava en una actuación por Internet con músicos de Montreal. Igual de importante, dijo, es la calidez y apertura de Bhargava. A pesar de que la experiencia de Trueman no está principalmente en la música india, "Nunca me sentí ofendido por su alto nivel de conocimiento de la música clásica de la India del Norte", comentó Trueman.

Bhargava a menudo vuelve a la tabla cuando se ha quedado atascado en un problema de matemáticas, y viceversa. "Cuando vuelvo, mi mente se ha aclarado".

Experimenta tocando la tabla y hace investigaciones matemáticas de manera similar. La música clásica de la India —como la investigación en la teoría de números— es en gran parte improvisación. "Hay un poco de resolución de problemas, pero también estamos tratando de decir algo artístico", indicó. "Es parecido a las matemáticas, tú tienes que reunir una serie de ideas que te iluminen."

Las matemáticas, la música y la poesía, juntas se sienten como una experiencia muy completa, dijo Bhargava. "Todo tipo de pensamientos creativos se unen cuando pienso en los tres."

Matemático

Entre el asistir a las clases de su madre y viajar por la India, Bhargava extrañaba mucho la escuela de los últimos años. Pero en los días que no iba a la escuela, a menudo se encontraba con sus compañeros de escuela por la tarde para jugar al tenis y al baloncesto. A pesar de su extraordinaria inteligencia, "no era más que un niño normal, que le gustaba estar con los demás niños", recordaba Mira Bhargava. "Estaban completamente a gusto con él."


Esto es un estribillo repetido por los colegas de Bhargava, estudiantes y colegas músicos, quienes le describen usando palabras como "dulce", "encantador", "sin pretensiones", "humilde" y "accesible". Bhargava lleva su estrellato matemático a la ligera, apunta Hidayat Husain Khan, un sitarista profesional con sede en Princeton y la India que ha trabajado con él. "Tiene la capacidad de conectarse con un amplio espectro de personas, independientemente de su origen."

La única vez que las frecuentes ausencias escolares de Bhargava amenazaron con hacerle daño, fue cuando su profesor de salud de la escuela secundaria trató de bloquear su graduación, a pesar de que era el mejor estudiante y había sido aceptado en Harvard (por supuesto consiguió graduarse).

Fue en Harvard donde Bhargava decidió, de una vez por todas, seguir la carrera de matemáticas. Con tales intereses tan eclécticos, ya que había coqueteado con muchas carreras posibles, músico, economista, lingüista, incluso alpinista. Eventualmente, sin embargo, se dio cuenta de que, por lo general, eran los aspectos matemáticos de estas materias los que más conseguían emocionarle. "De alguna manera, siempre volvía a las matemáticas".

Bhargava sintió el tirón más fuerte entre las matemáticas y la música, pero decidió al final que sería más fácil ser un matemático que hacía música que un músico que hacía matemáticas. "En el mundo académico, tú puedes perseguir tus pasiones", dijo.

Ahora, Bhargava tiene una oficina en el piso 12 de Fine Hall Princeton llena de juguetes matemáticos, cubos de Rubik, Zometools, piñas y puzzles. Cuando piensa en las matemáticas, sin embargo, Bhargava prefiere escapar de su oficina y pasear por el bosque. "La mayoría de las veces, cuando estoy haciendo matemáticas, estoy vagando por mi cabeza", dijo. "Y en la naturalezas encuentro inspiración."

Este enfoque puede tener sus inconvenientes: Más de una vez, Bhargava ha pospuesto anotar una idea durante años sólo por haber olvidado los detalles. A veces, sin embargo, los retrasos entre el pensamiento y la escritura son inevitables. "A veces, cuando tengo una idea nueva, no he desarrollado aún el lenguaje para expresarlo", señaló. "A veces, es sólo una imagen en mi mente de cómo las cosas deben estar fluyendo."

Aunque Bhargava utiliza su oficina principalmente para las reuniones, los juguetes matemáticos que decoran sus superficies son más que un colorido telón de fondo. Cuando era un estudiante graduado en Princeton, ayudaron a resolver un problema de 200 años de edad, en la teoría de números.

Si dos números, que son cada uno de ellos la suma de dos cuadrados perfectos, se multiplican entre sí, el número resultante será también la suma de dos cuadrados perfectos. Cuando era niño, Bhargava leyó en uno de los manuscritos en sánscrito de su abuelo sobre la generalización de este hecho, desarrollado en el año 628 por el gran matemático indio Brahmagupta: Si dos números que son cada uno la suma de un cuadrado perfecto y dado un determinado número de veces que un cuadrado perfecto se hayan multiplicado juntos, el producto volverá a ser la suma de un cuadrado perfecto y ese número de veces al completo será otro cuadrado perfecto. "Cuando vi esta matemáticas en el manuscrito de mi abuelo, me emocioné mucho", contaba Bhargava.

Hay muchas otras relaciones, en las que los números que se pueden expresar de una forma particular, también se pueden multiplicar juntos para producir un número con otra forma particular (a veces de la misma forma, a veces diferente). Como estudiante graduado, Bhargava descubrió que en 1801, el gigante matemático alemán Carl Friedrich Gauss llegó a una descripción completa de este tipo de relaciones si los números se pueden expresar en lo que se conoce como formas cuadráticas binarias: expresiones con dos variables y solamente términos cuadráticos, como x2 + y2 (la suma de dos cuadrados), x2 + 7y2, or 3x2 + 4xy + 9y2. Multiplica dos expresiones juntas, y "ley de composición" de Gauss te dice que la forma cuadrática podrá finalizarla. El único problema es que la ley de Gauss es un gigantesca matemática que le llevó cerca de 20 páginas poder describirlo.

Bhargava preguntó si habría una forma sencilla de describir lo que estaba pasando y si existen leyes análogas para las expresiones que implican exponentes más altos. Él siempre lo esbozaba en preguntas como ésta, los "problemas tienen que ser fáciles de declarar, y cuando uno las escucha, pienso que, básicamente, de alguna manera nos tiene que venir la respuesta."

La respuesta le llegó tarde, una noche mientras meditaba el problema en su habitación, mientras resolvía cubos de Rubik y puzzles relacionados, incluyendo un mini-cubo de Rubik, que tiene sólo cuatro plazas en cada cara. Bhargava —que solía resolver el cubo de Rubik en un minuto—, se dio cuenta de que si él fuera capaz de colocar los números en cada esquina de un mini-cubo y luego cortara el cubo por la mitad, los números de las ocho esquinas podrían combinarse de una manera natural para producir una forma cuadrática binaria.

Hay tres maneras de cortar un cubo por la mitad (de frente-atrás, de izquierda-derecha o de arriba a abajo) por lo que el cubo generaba tres formas cuadráticas. Estas tres formas, descubrió Bhargava, suman cero, no respecto a la adición normal, sino respecto al método de Gauss para la composición de formas cuadráticas. El método del cubo seccionado de Bhargava dio lugar a una nueva y elegante reformulación de la ley de 20 páginas de Gauss.

Además, Bhargava se dio cuenta que si disponía los números en un Domino de Rubik (un rompecabezas de 2x3x3) podría producir una ley de composición de formas cúbicas, cuyos exponentes sean tres. En los siguientes años, Bhargava descubrió 12 leyes más de composición, las cuales formaron el núcleo de su tesis doctoral. Estas leyes no son simples curiosidades: Se conectan el objeto fundamental con la teoría de números moderna denominado grupo ideal de  clase, el cual mide la cantidad de formas que un número puede factorizarse en primos en sistemas numéricos más complejos que los números enteros.

"Su tesis fue fenomenal", alabó Gross. "Fue la primera contribución importante a la teoría de la composición de formas binarias después de 200 años desde Gauss."

Mago

La investigación doctoral de Bhargava le valió la beca posdoctoral de cinco años, Clay Postdoctoral Fellowship, otorgada por el Instituto Clay de Matemáticas, en Providence, Rhode Island, a los nuevos doctores que muestran tal potencial de liderazgo en la investigación matemática. Él utilizó la beca para pasar un año más en Princeton y en el cercano Instituto de Estudios Avanzados, luego se trasladó a la Universidad de Harvard. Tan sólo dos años después de su beca, las ofertas de trabajo comenzaron a llegar, y pronto se convirtió en una guerra de ofertas que irrumpían sobre el joven matemático. "Fue un momento de locura", decía Bhargava. A los 28 años, aceptó un puesto en Princeton, convirtiéndose en el segundo profesor más joven a tiempo completo en la historia de la universidad.

De vuelta en Princeton, Bhargava se sintió como un estudiante de posgrado de nuevo y sus antiguos profesores tuvieron que recordarle que ahora debería llamarles por sus primeros nombres. "Eso fue un poco extraño", recordó él. Bhargava ordenó algunas sillas sin fricción para su despacho, y él y sus estudiantes amigos de posgrado corrían por los pasillos de Fine Hall por las noches. "Una vez, otro profesor que pasó por allí por la noche, y lo vio", contaba Bhargava. "Eso fue bastante embarazoso."

Bhargava es feliz de estar en una institución donde tiene la oportunidad de enseñar. Como asistente de enseñanza de pregrado en la Universidad de Harvard ganó el Premio C. Bok Derek por su excelencia en la enseñanza de tres años consecutivos. En especial le gusta llegar a los estudiantes en las artes o las humanidades, algunos de los cuales pueden pensar de sí mismos que tienen fobia a las matemáticas. "Porque yo he llegado a las matemáticas a través del arte, ha sido una de mis pasiones llegar a esas personas que piensan de sí mismos más por el lado del arte que por el lado de la ciencia", declaraba. Con los años, Bhargava ha impartido clases sobre las matemáticas de la música, la poesía y la magia. "Creo que todo es accesible si el material se presenta de la manera correcta."

Carolyn Chen, una estudiante de Princeton que participó en un seminario de primer año de Bhargava sobre las matemáticas y la magia, en un curso llamado "super chill". Bhargava comenzó cada clase realizando un truco de magia —algo que le gusta hacer— y luego los estudiantes diseccionaban sus principios matemáticos. Los colegas de Bhargava le habían advertido que se mantuviera alejado de las pruebas, dijo, "pero al final del curso, todo el mundo salía con pruebas sin darse cuenta que eso es lo que estaban haciendo."

El curso inspiró a Chen y varios compañeros de clase a tomar más clases de matemáticas basadas en pruebas. "Tomé la teoría de números después de ese seminario de primer año", relató. "Y nunca se me hubiera ocurrido de no haber ido a sus clases, pero realmente me gustó mucho."

En Princeton, Bhargava comenzó a desarrollar un arsenal de técnicas para la comprensión de la "geometría de los números", un campo relacionado con su conteo de naranjas de la niñez que estudia cómo incluir muchos puntos dentro de una retícula con una forma determinada. Si la forma es bastante oronda y compacta, como una pirámide de naranjas, el número de puntos reticulares dentro de la forma corresponde aproximadamente al volumen de la forma. Pero si la forma tiene largos tentáculos, puede captar muchos más, o muchos menos, puntos reticulares que una forma redonda del mismo volumen. Bhargava desarrolló una manera de entender el número de puntos de la retícula que aparecen en dichos tentáculos.

"Se ha aplicado este método a un problema tras otro de la teoría de números y los ha resuelto", dijo Gross. "Es una cosa hermosa de ver."

Mientras que los primeros trabajos de Bhargava sobre leyes de composición era un vuelo en solitario, gran parte de sus investigaciones posteriores se ha hecho en colaboración con otros, y algo que describe trabajar con Bhargava es que puede ser "una intensa experiencia": A veces, contaba Xiaoheng Wang, investigador postdoctoral de Princeton, él y Bhargava comenzaban a discutir un problema de matemáticas, y lo siguiente que sabe es que habían pasado siete horas. De forma muy característica, Bhargava es rápido a la hora de desviar el honor de ganar la Medalla Fields hacia sus colaboradores. "Es tanto suya como mía".

En los últimos años, Bhargava ha colaborado con varios matemáticos para estudiar las curvas elípticas, un tipo de ecuación cuyo mayor exponente es tres. Las curvas elípticas son uno de los objetos centrales de la teoría de números, fueron cruciales para la prueba del último Teorema de Fermat, por ejemplo, y también tienen aplicaciones en criptografía.

Un problema fundamental es entender que tal ecuación tiene soluciones que son números enteros o proporciones de números enteros (números racionales). Los matemáticos saben desde hace mucho que la mayoría de las curvas elípticas tienen ya sea una solución racional o infinitamente muchas, pero no pudieron averiguar, incluso tras décadas de intentos, la cantidad de curvas elípticas que entran en cada categoría. Ahora, Bhargava ha empezado a aclarar este misterio. Junto a Arul Shankar, su antiguo estudiante de doctorado y ahora post-doctorado en Harvard, Bhargava ha demostrado que más del 20 por ciento de las curvas elípticas tiene exactamente una solución racional. Y junto a Christopher Skinner, un colega de Princeton, y Wei Zhang, de la Universidad de Columbia, Bhargava ha demostrado que al menos el 20 por ciento de las curvas elípticas tienen un conjunto infinito de soluciones racionales con una estructura particular llamada "Rango 1".

Bhargava, Skinner y Zhang también han avanzado en probar la famosa conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, un problema relacionado con las curvas elípticas para el que el Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares. Bhargava, Skinner, y Zhang ya han demostrado que la conjetura es verdadera en más de un 66 por ciento de las curvas elípticas.

El trabajo de Bhargava en curvas elípticas "ha abierto todo un mundo", dice Gross. "Ahora todo el mundo está muy entusiasmado con ella y tratando de trabajar en ello con él."

"Él ha demostrado algunos de los teoremas más emocionantes de los últimos 20 años de la teoría de números", subrayó Ono. "Las preguntas que no se articulan correctamente tampoco tienen una clara respuesta."

Bhargava ha desarrollado un estilo matemático único, dijo Gross. "Se podría mirar un documento y decir, 'Manjul es el único que podría haber hecho eso. Es la marca de un gran matemático al que no le hace falta firmar su obra."


- Thomas Lin contribuyó a este reportaje desde Princeton, N.J.
- Imagen.1. Manjul Bhargava, de Infosys Science Foundation
- Imágenes extraídas del vídeo en Quanta Magazine.
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Editor del blog Pedro Donaire

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