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» » Introducción a la lógica matemática (3)

por el Profesor Carlos Ivorra Castillo


El finitismo

No toda la matemática necesita una fundamentaron axiomática formal. Ésta es necesaria  sólo porque  la matemática trata con conjuntos infinitos. Si un matemático trabaja exclusivamente con conjuntos finitos, por ejemplo, grafos finitos, grupos finitos, etc., puede prescindir  por completo de axiomas y reglas de razonamiento formal. Nadie ha encontrado jamás una paradoja que involucre exclusivamente conjuntos finitos (4)  ni error de razonamiento sobre conjuntos finitos que no sea detectable sin más que prestar suficiente  atención al discurso. Esto vuelve remilgados y vanos  —en este contexto—  muchos  de los escrúpulos del formalista radical.

Pongamos algunos ejemplos. Es fácil calcular 3 × 4 = 12 y 4 × 3 = 12, lo que nos convence de que 3 × 4 = 4 × 3.  Hay,  sin embargo,  una forma de razonarlo  que es especialmente fructífera. 

Pensemos  en el rectángulo siguiente:

Podemos considerarlo formado por 3 veces 4 cuadrados o por 4 veces 3 cuadrados. Lo que muestra que, necesariamente, 3 x 4 = 4 x 3. Esto ya lo sabíamos, pero  hay  una  diferencia: si calculamos 3 + 3 + 3 + 3 y 4 + 4 + 4 y vemos que da lo mismo,  sabemos eso y nada  más  que eso, mientras que el argumento del rectángulo nos convence de que m × n = n × m  para  cualquier par  de números m y n (no nulos, en principio). En efecto, está claro que, sean quienes sean  m y n,  siempre  podremos  construir un  rectángulo formado por m filas de n cuadrados o, equivalentemente, por n columnas  de m cuadrados. Vemos así que —para  desesperación de un formalista radical— la prueba de un caso particular contiene  la prueba  del caso general.

Quien considere que de un caso particular —o incluso de varios— nunca es lícito  inferir  el caso general,  está  generalizando ilícitamente  a partir de uno  o varios casos particulares. Por  ejemplo, no es muy difícil probar que la ecuación x 3 + y 3 = z 3 no tiene  soluciones enteras, pero la prueba no muestra más  que eso, de modo que no es lícito deducir de ella que la ecuación x n + y n = z n no tiene  soluciones enteras para n > 2. El hecho de que los primeros  números de la forma 2 2n + 1 sean primos no nos permite asegurar que todos  ellos lo sean.

En ambos casos tenemos meras comprobaciones aisladas  que no aportan nada sobre el caso general. Por el contrario, el argumento del rectángulo contiene un esquema  uniforme  de razonamiento, en el sentido  de que cualquiera que comprenda el argumento se sabe capacitado para  generar  razonamientos concretos que prueben la conmutatividad de cualquier par de factores (5).

El argumento del rectángulo es un ejemplo de razonamiento finitista que nos proporciona una verdad  sobre los números naturales. El formalista  radical preguntará qué debemos  entender por  “números naturales” y “producto”  en dicho razonamiento. No podemos  permitirnos el lujo de responderle como a él le gustaría: necesitamos los números naturales para fundamentar la matemática, es decir, mucho  antes  de estar  en condiciones de responder a las exigencias del formalista. Eso no nos exime de responder:

Cójase a un  niño que  no sepa contar pero que esté en edad de aprender. Enséñesele a contar. Con ello, el niño habrá pasado  de no saber contar  a saber contar. Algo habrá aprendido. Lo que ha aprendido es lo que son los números naturales. Sería  inútil  que repitiera aquí lo que no sería ni más ni menos que lo que el lector aprendió en su infancia. Del mismo modo, “multiplicar” es eso que todos sabemos hacer cuando nos dan una  expresión como “12 × 345 =” y nos piden que la completemos. Es una operación que nos lleva de dos números a otro número de forma objetiva, en el sentido de que dos personas  cualesquiera que sepan multiplicar llegarán siempre al mismo resultado y, de no ser así, será fácil sacar de su error a quien se haya  equivocado.

Supongamos  que hemos enseñado a contar a un niño de tal modo que éste es capaz  de decidir cuál de dos números naturales dados (en forma decimal, por ejemplo) es mayor, así  como de escribir el siguiente de un número dado. En cuanto tenga  esto debidamente asimilado, pregúntesele cuál es el mayor de todos los números. Sin duda  responderá que no hay tal número, pues él se sabe capaz de superar  cualquier número que le sea dado. A poco que se le explique la diferencia entre  lo finito y lo infinito, sabrá ver ahí la prueba  de que el conjunto de los números naturales es infinito. Quizá no sepa si el conjunto de las estrellas es finito o infinito, pero sabrá que el conjunto de los dedos de su mano es finito y el conjunto  de los números es infinito.

El punto crucial es que estos conocimientos no son precarios y basados en la  credulidad de los niños, sino que son firmes y objetivos, en el sentido de que, en cuanto un niño ha comprendido adecuadamente el significado de los términos “numero”, “finito” e “infinito”, tal  vez podremos  engañarle y hacerle creer cualquier cosa sobre el número de estrellas, pero jamás conseguiremos que crea  que tiene infinitos dedos en su mano o que hay una cantidad finita de números naturales. Las afirmaciones estrictamente matemáticas sobre los números nunca han generado ni pueden generar polémica sobre si son verdaderas o falsas (6).

Estos ejemplos pretenden mostrar que es posible razonar con objetividad, seguridad, precisión y, por consiguiente, rigurosamente, sobre algunos conceptos sin depender de sistemas axiomáticos. ¿De qué conceptos,  concretamente? Es muy difícil, si no imposible, establecer fronteras precisas. El finitismo consiste en aceptar que el razonamiento humano no corre riesgos de extravío mientras se limite a considerar conceptos y procesos finitos. Así, Hilbert, en su programa  de fundamentaron de la matemática, propugnó la búsqueda de un sistema axiomático adecuado para este fin, de modo que, tanto la construcción del sistema como la comprobación de que satisfacía los requisitos  necesarios  para considerarlo aceptable, tenía que llevarse a cabo mediante argumentos finitistas que —por consiguiente—  no requirieran la teoría buscada  y no nos llevaran así al callejón sin salida al que conduce inexorablemente el formalismo radical.

En  definitiva, la propuesta de Hilbert era fundamentar la matemática, no finitista  en su mayor parte, con una metamatemática finitista, que carece  de los problemas  característicos de la matemática no finitista  —que el formalista radical  extrapola catastróficamente a toda  la matemática— y por consiguiente no requiere de una fundamentaron formal para justificar su solidez.

Esto  no significa que no se pueda especular sobre la fundamentaron de la metamatemática, pero ésta ya no corresponde al ámbito de la matemática o de la lógica, sino de la teoría del conocimiento, y el matemático puede  prescindir de tratar este problema ya que, en todo caso, la cuestión sería en qué se funda nuestra capacidad de razonamiento básico, no si dicha capacidad es o no sólida y fiable (7).

Más allá del  finitismo

Aunque la mayor parte de la metamatematica puede desarrollarse en el marco  finitista  que exigía Hilbert, lo cierto  es que algunos resultados valiosos, como el teorema  de completitud semántica de Gödel, exigen nuestra confianza  en argumentos algo más audaces. Por ello conviene cambiar la  pregunta más  tímida  de  ¿qué  tipo  de  razonamientos necesitamos  sostener sin el apoyo  de una  teoría axiomática?  por la más ambiciosa  de ¿qué tipo  de razonamientos podemos sostener  sin el apoyo de una teoría axiomática?

La tesis general que adoptaremos aquí es la siguiente: Para que un razonamiento  sea aceptable metamatemáticamente ha de cumplir  dos condiciones:

a) Ha de ser convincente, en el sentido de que nadie que lo comprenda pueda tener dudas serias (8) sobre la verdad  de su tesis.
b) Todas las afirmaciones involucradas han de tener un significado preciso y objetivo independiente de los argumentos que las demuestren.

Nos encontramos aquí con un fenómeno omnipresente en la metamatematica: mientras el matemático está acostumbrado a ir de lo general a lo particular (así por  ejemplo, sólo después de definir la noción general de continuidad de una función es cuando  se plantea si una función dada es o no continua) esta actitud rara vez es posible en la metamatemática. De este modo, aunque no tenemos ninguna  definición general, objetiva  y precisa  de qué es un razonamiento convincente  —y por consiguiente el enunciado  de la condición  a) es obviamente ambiguo e impreciso—, afortunadamente, no necesitamos tenerla para reconocer un argumento objetivo  y preciso (en particular convincente) cuando lo tenemos delante. Por ejemplo, el argumento del rectángulo demuestra la conmutatividad del producto de números naturales sin dejar  lugar  a dudas. Su poder de convicción es objetivo en el sentido de que no depende de la capacidad de sugestión o de dejarse engañar de quien lo escucha, sino que, por el contrario, nadie que lo conozca puede albergar  ya el menor recelo de encontrarse con un par de números que al multiplicarlos en uno y otro orden produzcan resultados distintos.

La segunda condición está relacionada con la diferencia  fundamental entre matemática y metamatemática: cuando un matemático trabaja en el seno de una teoría axiomática formal, no está legitimado a hablar de la verdad o falsedad de las afirmaciones que demuestra. Para  él sólo hay afirmaciones  demostrables y no demostrables o, si se quiere hilar más fino, afirmaciones demostrables, refutables e independientes de sus axiomas (las que no se pueden  demostrar o refutar). En cambio, en metamatemática no podemos  hacer  esta  distinción ya que  no tenemos una noción precisa  de lo que es ser (metamatemáticamente) demostrable. Nuestra única posibilidad, pues, de distinguir afirmaciones como 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5 y 2N0 = N1 es decir que la primera es verdadera, la segunda es falsa y la tercera no tiene significado metamatemático porque  no cumple  la condición b). Una vez más, no tenemos una definición general de qué quiere decir que una afirmación sea verdadera, pero sí sabemos lo que quiere decir que  algunas  afirmaciones  sean  verdaderas, y esas afirmaciones son las unicas que podemos permitirnos el lujo de manejar metamatemáticamente. Pongamos algunos ejemplos.

Sabemos demostrar que el producto de números naturales es conmutativo, pero, independientemente de cualquier  razonamiento que nos convenza  de ello, sabemos lo que eso significa: significa que si tomamos  dos números cualesquiera y hacemos lo que sabemos  que  hay  que  hacer  para  calcular su  producto, el resultado es el mismo  independientemente del orden en que los tomemos. A priori habría dos posibilidades: que hubiera pares de números para  los que esto fuera  falso o que no los hubiera. Tenemos un razonamiento que nos convence de que la primera  posibilidad es, de hecho, imposible, pero es esencial que antes de tal razonamiento ya sabíamos lo que significaban ambas opciones.

Un ejemplo más sofisticado: En el capitulo VII definiremos  una  propiedad de números naturales a la que de momento podemos llamar “ser simpático” (9)

Existe un procedimiento para  saber si un número dado es simpático o no, exactamente de la misma naturaleza que el que nos permite saber si es primo o no. Pero suceden los siguientes  hechos:

a)  No es posible probar  que todo natural es simpático.
b)  Hasta  la fecha nadie ha encontrado un natural antipático y es muy dudoso que exista  alguno.

Tiene  sentido  afirmar  que  todo  natural es simpático. Significa  que  0 es simpático, 1 es simpático, 2 es simpático ... etc. o sea, que por mucho que uno avance  en el examen  de números más y más grandes  nunca  se encuentra una excepción.

La afirmación “Todos los naturales son simpáticos” es metamatemáticamente  aceptable porque  tiene  sentido  decir que es verdadera o falsa independientemente de lo que  podría hacerse por justificarla (lo que, según lo dicho, es imposible). No sabemos si es verdadera o falsa, pero sabemos lo que es que sea verdadera o falsa.

El concepto de “número simpático” es finitista,  pues comprobar si un número es o no simpático se reduce a un número finito de cálculos. No obstante, podemos definir también un número “supersimpático” como un número tal que todos los números mayores que él son simpáticos. Esta noción ya no es finitista. De hecho no tenemos  manera  de saber si 3 es supersimpático o no, pero lo importante es que tiene sentido: o lo es o no lo es, o hay un nu´mero antipático mayor  que 3 o no lo hay.

Pensemos ahora en el conjunto A de todos los conjuntos cuyos elementos son números naturales. No podemos asignar un contenido metamatemático a esta definición. Una vez más nos encontramos con el mismo fenómeno: sabemos lo que es el conjunto de los números pares, el de los números primos, el de las potencias de dos, e infinitos más, pero no tenemos ninguna definición precisa de lo que  es un  conjunto de números naturales en abstracto, ni tenemos, en particular, representación alguna de la totalidad de tales conjuntos. Todas las contradicciones de la teoría de conjuntos surgen de la pretensión de hablar de colecciones de objetos  en sentido abstracto como si supiéramos de qué estamos hablando.

Quizá el lector crea tener una representación intuitiva del conjunto A, pero deberá reconsiderarlo ante los hechos: los axiomas de la teoría de conjuntos con- tienen  todo  lo que los matemáticos saben  decir sobre su presunta intuición de los conjuntos abstractos. En particular, de ellos se deducen muchas propiedades de A, tales como que no es numerable. Sin embargo, quedan  muchas  afirmaciones sobre A que no pueden ser demostradas o refutadas.

La más famosa  es la hipótesis del continuo: ¿Existe un conjunto infinito B ⊂ A tal que B no pueda biyectarse con el conjunto de los números  naturales y tampoco con A? Si el conjunto A tuviera un contenido  intuitivo preciso, esta  afirmación tendría que ser verdadera o falsa. Ahora bien, veremos  que es posible construir modelos de la teoría de conjuntos, es decir, podemos  encontrar unos objetos a los que, si los llamamos “conjuntos” satisfacen  todos  los axiomas que los matemáticos postulan sobre los conjuntos, de modo que la hipótesis del continuo, interpretada  como una  afirmación sobre estos objetos, resulta ser verdadera, mientras que es posible hacer  lo mismo con otra  interpretación distinta de la noción de “conjunto” y de tal  modo que la hipo´tesis del continuo  resulta  ser falsa.  Más precisamente, interpretando de formas distintas esa noción de “conjunto” dentro del margen de libertad que nos concede el hecho de que los axiomas de la teoría de conjuntos no la determinan por completo,  podemos construir dos objetos A1 y A2 , ambos con el mismo derecho a ser llamados “la totalidad de los conjuntos de números naturales” (de acuerdo  con distintas nociones de “conjunto”) y de modo que una cumpla la hipótesis del continuo y la otra no. ¿Cómo se puede digerir esto?

Sólo hay una  posibilidad: reconocer que nuestro conocimiento de la noción de “conjunto” es impreciso. Sólo sabemos que los conjuntos han de cumplir unas propiedades básicas, pero existen distintas interpretaciones posibles de la palabra “conjunto” que hacen que esas condiciones básicas sean satisfechas. Cuando decimos que A no tiene un significado metamatemático preciso no queremos decir que A no signifique nada en absoluto, sino más bien  que puede  significar infinitas cosas distintas y no somos capaces  de precisar a cuál de todas queremos referirnos. Por ello nuestra única posibilidad para hablar de A sin caer en vaguedades o contradicciones es postular unos axiomas que recojan  lo que estamos suponiendo que  cumplen los conjuntos y, a partir de ahí, podremos trabajar con seguridad.

Éste es el origen de todos los temores y recelos del formalista radical. Esta clase de fenómenos son los que —en ciertas  situaciones— hacen imposible razonar cabalmente sin el apoyo de una teoría formal. Pero si queremos fundamentar los razonamientos sobre conjuntos abstractos y entenderlos mejor, hemos de empezar por comprender que los problemas están limitados a este terreno: al de los conjuntos abstractos, pues sólo así comprenderemos que es posible una metamatemática basada no en la forma, sino en el contenido de las afirmaciones que involucra.

Carlos Ivorra
Este punto de vista nos permite ir un poco más lejos que el finitismo estricto. Así, por ejemplo, ya hemos visto que la afirmación 3 es supersimpático no es finitista pero sí es aceptable. Notemos que involucra un infinito real, en el sentido de que, aunque aparentemente sea una afirmación sobre el número 3, en realidad es una  afirmación sobre la totalidad de los números naturales, no sobre una cantidad finita de ellos. Es posible definir una propiedad más débil que la de ser simpático y supersimpático (10) de modo que, en este  nuevo sentido, sí pueda probarse que 3 es supersimpático, y sin que esto deje de ser una  afirmación sobre  la totalidad de los nu´meros naturales. La prueba  es un argumento que nos convence de que jamás encontraremos un número natural que no sea (débilmente) simpático e involucra esencialmente a los números naturales como conjunto infinito. De todos modos, los argumentos no finitistas  aparecerán en muy contadas ocasiones en la teoría, bien sea porque no aparezcan en sentido estricto, bien porque con pequeñas modificaciones técnicas podrían eliminarse sin dificultad.

Platonismo

En contra de lo que podría parecer, nada de lo que acabamos de discutir  pretende negar la posibilidad de que sí exista, después de todo, una  noción objetiva  de “conjunto” en sentido  abstracto. Los matemáticos que creen que así se llaman  “realistas” o “platónicos”. No intentaré defender una  postura que no comparto, pero sí es importante sen˜alar que nada en este libro contradice el platonismo. Lo único que debemos tener presente es que, si existe una  interpretación natural de la teoría de conjuntos, la única forma que tenemos de acercarnos a ella con seguridad y rigor es a través de una  sucesión de sistemas  axiomáticos que vayan incorporando cada  vez más axiomas  para cubrir los agujeros de los sistemas anteriores, pero nunca metamatemáticamente. El problema, entonces, es decidir cuál de las dos alternativas a que da  lugar una  afirmación indecidible en un sistema  axiomático es la  verdadera en  esa pretendida interpretación natural de la teoría. Así, si se concluye que la hipo´tesis del continuo debe ser verdadera tendremos que añadirla como un nuevo axioma y entender que los resultados que se demuestran con la negación de la hipótesis del continuo tratan sobre unos objetos  artificiales que no son los conjuntos en el sentido usual. Naturalmente también podría darse el caso  contrario y el problema es la falta de criterios para distinguir lo verdadero de lo falso a este nivel.


- Lectura recomendada y relacionada del mismo autor, aquí .
- Más libros de Carlos Ivorra, aquí y aquí

. imágenes, primera ilustración combinada, las restantes de Wikipedia.
. Notas:
(4) Podría objetarse que “el menor número natural no definible con menos  de doce palabras” es contradictorio, pero es que  aquí la noción de “definible” no está bien  definida.
(5) La clave  está en que se sabe capacitado a priori. En  realidad, cualquiera está capacitado para ello aunque pueda no  saberlo: basta calcular m × n y  n × m y comprobar que da lo mismo. La diferencia es que quien conoce el argumento del rectángulo sabe  de antemano que su argumento va a funcionar con factores cualesquiera, mientras que quien hace las operaciones no tiene la seguridad en cada  caso hasta que no acaba los cálculos. Por eso no puede asegurar que la multiplicación es conmutativa.
(6) Otra cosa es polemizar sobre si podemos asegurar que cualquier afirmación sobre  números es verdadera o falsa, especialmente cuando no sabemos cómo comprobarla, pero jamás —que yo sepa— ha habido dos personas que e creyeran con  argumentos racionales que probaran tesis opuestas sobre una propiedad de los números naturales o de conjuntos finitos en general.
(7) Evidentemente, se puede dudar de la fiabilidad de nuestra capacidad de  razonamiento finitista como se puede dudar de si existe o no el mundo, pero eso es escepticismo, un mal que sólo afecta a los que hablan por hablar y a los que  piensan por pensar.
(8) Esto excluye a las dudas que tengan su origen en un escepticismo sistemático.
(9) Se trata de “no ser el número de Gödel de la demostración de una contradicción en ZFC”.
(10) Por ejemplo, sin más que sustituir ZFC por la aritmética de primer orden.

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