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» » Introducción a la lógica matemática (2)

por el Profesor Carlos Ivorra Castillo


Matemática y metamatemática

Una gran parte  de la lógica moderna constituye una rama más de la matemática, como pueda serlo el álgebra o el análisis, pero hay otra parte que no puede ser considerada del mismo modo, y es precisamente  la que más nos va a interesar. Se trata de la parte  que se ocupa de los fundamentos de la matemática.  Para que un argumento matemático sea aceptable es necesario  que satisfaga unas  condiciones de rigor, condiciones que los matemáticos aplican  inconscientemente y que ahora  nos proponemos establecer explícitamente, pero precisamente por eso ser´ıa absurdo  pretender que los razonamientos y discusiones que nos lleven a establecer el canon de rigor matemático deban  someterse  a dicho  canon, del que —en nuestra peculiar  situación— no disponemos a priori.  Esto  plantea el problema  de cómo ha de concebirse  todo cuanto  digamos hasta  que dispongamos  de la noción de rigor matemático.

Esto  nos  lleva  a  la  distinción entre  matemática y  metamatemática.  Matemática es lo que hacen los matemáticos. Cuando  hayamos  alcanzado  nuestro objetivo,  podremos  decir qué es exactamente hacer  matemáticas. De momento podemos  describirlo grosso modo: Hacer  matemáticas consiste  en  demostrar afirmaciones,  en un  sentido  de la palabra “afirmación”  que hemos de precisar y en un sentido  de la palabra “demostrar” que hemos de precisar,  a partir de unas  afirmaciones  fijas que llamaremos  axiomas  y que también hemos de precisar (1).  Por  otra  parte,  hacer  metamatemáticas es razonar  sobre afirmaciones, demostraciones, axiomas  y, en general,  sobre todo  aquello que necesitemos  razonar para  establecer  qué es la matemática y cuáles son sus posibilidades  y sus limites.

Por  ejemplo,  una  afirmación  matemática es “los  poliedros  regulares  son cinco”, mientras que una afirmación metamatemática es “los axiomas de Peano son cinco”.  Pese a su similitud formal, es crucial reconocer que son esencialmente distintas. Cuando  hayamos “capturado” la nocion de razonamiento matemático, podremos  entender la primera  de ellas como un teorema, una  afirmación cuya verdad  se funda  en que puede  ser demostrada matemáticamente, mediante un razonamiento que satisfará todas las exigencias de rigor que habremos  impuesto. En cambio, la segunda  no es un teorema  demostrable a partir de ningunos axiomas.  Simplemente expresa  que cuando  escribimos  en un papel  los axiomas  de Peano,  escribimos  cinco afirmaciones.  Cuando  contamos  los axiomas  de Peano hacemos lo mismo que cuando  le contamos  los pies a un gato.  Podrá discutirse sobre  qué  es lo que hacemos,  pero,  ciertamente, no estamos  demostrando un teorema  formal.

Giuseppe Peano
Antes de continuar debo hacer una advertencia al lector:  Los resultados que vamos  a estudiar son todos  hechos conocidos sobre la lógica  de primer  orden, que  merecen  el respeto  y la  consideración habituales para  con los resultados matemáticos,  sin embargo,  entre  ´estos,  hay interpretaciones subjetivas con las que unos lógicos y matemáticos estarán de acuerdo  mientras que otros  podrán discrepar. Mi intención no ha sido la de exponer imparcialmente todos los puntos  de vista  posibles,  sino la de decantarme en cada  momento  por  lo que me parece más adecuado,  de modo que el lector es libre de estar  de acuerdo  o discrepar de lo que lea.  Si el lector opta por lo segundo, deber´ıa tener presente  que hay dos formas de discrepar:   una  destructiva y estéril, consistente únicamente en discrepar, y otra  constructiva y enriquecedora, consistente en proponer  una alternativa. Tengo  la convicción de que el lector  que trate de discrepar constructivamente no discrepará mucho.

La diferencia  esencial entre  una  afirmación o un razonamiento matemático y una  afirmación o un  razonamiento metamatemático es que  los primeros  se apoyan  esencialmente en  una  teoría axiomática, y los segundos  no.  Cuando afirmamos  que  “los  poliedros  regulares  son  cinco”,  aunque  literalmente esto es una  afirmación en castellano,  si la consideramos  como una  afirmación matemática  correcta  es porque  podríamos  enunciarla en el lenguaje  de la teoría de conjuntos y demostrarla según la lógica de la teoría de conjuntos.  Por  el contrario, la afirmación “los axiomas  de Peano  son cinco” es una afirmación en castellano,  que podríamos traducir al inglés o al francés, pero no tiene  sentido considerarla como un teorema  integrante de un sistema  axiomático (2).  Todo matemático, tanto si conoce explícitamente la teoría axiomática en la que trabaja como si no, entiende  perfectamente qué  es razonar  formalmente en el seno de una  teoría y, aunque  no sepa —conscientemente— mucha  lógica, entiende  que eso es precisamente lo que hace  y lo que da  rigor  a su trabajo.  El problema es, pues, explicar  cómo puede razonarse  de forma rigurosa  fuera de toda  teoría axiomática.  Dedicaremos  a este problema  las secciones siguientes. Para  acabar ésta añadiremos únicamente la siguiente  advertencia:

Un matemático puede  encontrar esotéricos e incomprensibles o naturales y simples los resultados de los capítulos siguientes,  no en función de su inteligencia o de su capacidad como matemático, sino exclusivamente en función de su capacidad de librarse  de los prejuicios  o de la “deformación profesional”  que le impidan  asumir  que no está  leyendo un libro de matemáticas.  Si decide prescindir  de las indicaciones  que acompañan a los resultados, más cercanas  a la filosofa que a la matemática en sí, corre el riesgo de entender todos  los pasos intermedios pero no entender ninguna  de las conclusiones.

El  formalismo radical

Antes  de esbozar  una  concepción razonable  para  la metamatemática, será conveniente  que descartemos de antemano la alternativa a la que es proclive una  buena  parte  de los matemáticos no familiarizados  con la lógica:  el formalismo  radical. Ya hemos comentado que las contradicciones que achacaban a la matemática de finales del siglo XIX fueron desterradas estipulando unos axiomas y unas  reglas de razonamiento lógico cuidadosamente seleccionadas  para  este fin. Más allá de cubrir  esta necesidad elemental  de consistencia, el método axiomático proporciona al matemático una  seguridad  sin precedentes: decidir si un razonamiento es válido o no cuando la teoría a la que pretende integrarse esta´ debidamente axiomatizada es mera cuestión de cálculo, una tarea  mecánica que, al menos en teoría, puede realizar incluso un ordenador debidamente programado.

Esto ha hecho que algunos matemáticos, convencidos de que el método axiomático es todo lo que necesitan  para  su trabajo, no reconozcan  otra  forma de razonamiento legitimo.  Un formalista  radical  es alguien  que no acepta  un razonamiento a no ser que venga precedido de una enumeración de los conceptos que va a involucrar y de los axiomas que se van a aceptar sin prueba,  y de modo que todo cuanto  siga sean consecuencias  lógicas formales de los axiomas  dados (sin perjuicio de que, en la mayor´ıa de los casos, estos principios  se omitan  por consabidos).

David Hilbert
Es importante destacar el significado del adjetivo “formal” en la expresión “consecuencias  lógicas formales”. Una deducción formal es una deducción que no tiene en cuenta para nada  el posible  significado  de las afirmaciones  que involucra. Por ejemplo, de “todo  H es M” y “S es H” se deduce formalmente que “S es M”, sin que importe lo más mínimo a qué hagan referencia las letras H, M y S.  Si uno quiere ver ahı el silogismo “Todos los hombres son mortales”, “Sócrates es un hombre”, luego “Sócrates es mortal”, es libre de pensarlo así, pero la validez del razonamiento no depende de esa interpretación ni de ninguna otra (3).

Hilbert fue el primero en concebir la posibilidad  de reducir la totalidad de la matemática a una teoría axiomática formal, idea extremadamente fructífera y poderosa.  La falacia del formalista radical —en la que, desde luego, Hilbert no cayó— consiste  en creer que no hay nada más. En  las secciones siguientes veremos qué más hay, pero en ésta hemos de convencernos  de que algo más tiene que haber.

No es cierto que el formalismo radical baste para fundamentar la matemática. El problema  es que establecer un lenguaje, unos axiomas y unas reglas de razonamiento requiere  ciertos razonamientos: hay que discutir  cuáles son los signos del lenguaje, cuáles son las combinaciones aceptables de esos signos, cuáles de ellas se toman  concretamente como axiomas, hay que demostrar algunos hechos generales sobre demostrabilidad, etc. ¿Cómo podrían entenderse esos razonamientos  si no admitiéramos razonamientos que no provengan de unos axiomas prefijados?, ¿hemos de presentar exclamativamente la metamatemática?, ¿y cómo presentamos los axiomas necesarios para axiomatizar la metamatemática?, ¿Hemos de construir una metametamatemática?

Por poner un ejemplo explicito: La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es el sistema axiomático comúnmente aceptado como fundamento de la matemática. En  efecto, a partir de sus axiomas  se pueden  demostrar todos los teoremas matemáticos, en particular de ellos se deducen  las propiedades de los conjuntos infinitos.  Un formalista  radical sólo aceptará razonamientos que involucren el concepto  de infinitud  a partir del momento  en que las propiedades de los conjuntos infinitos se hayan  demostrado a partir de los axiomas, pero sucede que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel tiene infinitos axiomas.  Por con- siguiente, el formalismo  radical  conduce  a descalificar  como falto de rigor a su propio canon de rigor.  Por  eso sólo son formalistas radicales  quienes, con independencia  de su capacidad como matemáticos, jamás han abordado con detalle —no a nivel teórico general,  sino a nivel técnico— el problema de fundamentar rigurosamente la matemática.


- Lectura recomendada y relacionada del mismo autor, aquí .
- Más libros de Carlos Ivorra, aquí y aquí

. imágenes, primera ilustración combinada, las restantes de Wikipedia.
. Notas:
(1) Ciertamente, esta   concepción  radicalmente  formalista de  las  matemáticas  es  más  que cuestionable. En realidad no afirmo  que las matemáticas sean  sólo esto,  sino tan sólo que éste es exactamente el significado que tendrá el término “matemático” a lo largo  de este  libro.
(2) En  realidad la meta-matemática sí  puede formalizarse, como  cualquier teoría  razonable, pero  lo cierto es que en nuestro contexto no podemos hacerlo, por lo que es más aproximado a la verdad decir que  no tiene sentido considerar a sus afirmaciones como  teoremas de ninguna teoría formal.
(3) Por eso una  buena definición del formalista (radical) es la que lo caracteriza como alguien incapaz de entender algo a menos  que  carezca de significado. 

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