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» » Introducción a la lógica matemática (1)

por el Profesor Carlos Ivorra Castillo

El pensamiento humano ha ido forjándose a lo largo de la Historia en una interminable batalla por encontrar la veracidad de sus planteamientos. La filosofía, la física y las matemáticas han sido los centros hiperespecializados que dirimen esa batalla por la concreción, la argumentación, la deducción y, en suma, por hallar los valores de la verdad y la razón.

Y en este caso, ¿te imaginas a ti mismo leyendo con interés un libro sobre matemáticas? Pues eso es lo que espero cuando leas esta introducción a la lógica matemática extraída del libro del Profesor Carlos Ivorra Castillo, "Lógica y Teoría de Conjuntos". Y espero que te leas el libro entero, o casi. Soy de la opinión que cuando las cosas se explican de otra manera, las ideas pueden fluir por otros caminos hasta el momento impensados.



Introducción a la  lógica matemática


La  lógica y su  historia

Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio  del razonamiento. Esto hoy en día puede  considerarse  desbordado por  la  enorme extensión y diversidad que  ha  alcanzado esta  disciplina,  pero puede servirnos como primera  aproximación a su contenido.

Un matemático competente distingue  sin  dificultad  una  demostración correcta  de  una  incorrecta, o mejor  dicho,  una  demostración de  otra  cosa  que aparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo,  no le preguntéis qué es lo que en- tiende  por demostración, pues —a menos que además sepa lógica— no os sabrá responder,  ni falta  que le hace.  El matemático se las arregla  para  reconocer  la validez de un argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio,  de total  fiabilidad.  No necesita  para  su tarea  contar  con un concepto  preciso de demostración.  Eso es en cambio lo que ocupa al lógico: El matemático demuestra, el lógico estudia  lo que hace el matemático cuando demuestra.

Aquı  se vuelve  obligada  la pregunta de hasta  qué  punto  tiene  esto  interés y hasta  qué punto  es una  pérdida de tiempo.   Hemos dicho que el matemático se las arregla  solo sin necesidad  de que nadie le vigile los pasos, pero entonces, ¿qué hace ahí el lógico?  Posiblemente la mejor forma de justificar  el estudio  de la lógica sea dar una visión, aunque breve, de las causas históricas que han dado a la lógica actual  tal grado de prosperidad.

En el sentido  más general  de la palabra, el estudio  de la lógica se remonta al siglo IV a.C.,  cuando Aristóteles la puso a la cabeza  de su sistema  filosófico como materia indispensable para  cualquier  otra  ciencia.  La lógica aristotélica era bastante rígida y estrecha  de miras,  pero con todo pervivió casi inalterada, paralelamente al  resto  de  su  doctrina, hasta  el siglo XVI.  A partir de  aquí, mientras su  física fue sustituida por  la  nueva  física de  Galileo  y Newton,  la lógica simplemente fue ignorada.   Se mantuvo, pero en manos  de filósofos y en parte  de los matemáticos con inclinaciones  filosóficas, aunque  sin jugar  ningún papel  relevante  en el desarrollo  de las ciencias. Leibniz le dio cierto  impulso, pero sin abandonar una  postura conservadora. A principios  del siglo XIX, los trabajos de Boole y algunos  otros  empezaron a relacionarla más  directamente con la matemática, pero sin obtener  nada que la hiciera especialmente relevante (aunque  los trabajos de Boole cobraron importancia más tarde  por  motivos quizá distintos de los que él mismo tenía in mente).

Así pues, tenemos que, hasta  mediados  del siglo XIX, la lógica era poco más que  una  curiosidad  que  interesaba a quienes  sentían alguna  inquietud por  la filosofía de la matemática o del pensamiento en general. La logica como hoy la entendemos surgió básicamente con los trabajos de Frege y Peano.  En principio estos  eran,  al igual  que los anteriores, nuevos  ensayos  sobre  el razonamiento, si bien  más complejos  y ambiciosos.  Lo que  les dio  importancia fue que  no aparecieron como productos de  mentes  inquietas, sino como culminación del proceso  de  formalización que  la  matemática venía experimentando desde  los tiempos  de Newton  y Leibniz.

Gottlob Frege
En efecto, el cálculo infinitesimal  que estos trazaron con tanta imaginación y que después desarrollaron CauchyGauss  y otros,  tuvo  que ser precisado  a medida  que  se manejaban conceptos  más generales  y abstractos. Dedekind, Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matemática hasta  el punto  de dejarla  construida esencialmente a partir de los números naturales y de las propiedades elementales sobre los conjuntos. La obra de Frege y de Peano pretendía ser el ultimo eslabón de esta  cadena. Trataron de dar  reglas  precisas  que de- terminaran completamente la labor del matemático, explicitando los puntos  de partida que haba que suponer así como los métodos usados para deducir nuevos resultados a partir de ellos.

Si sólo fuera por esto, probablemente este trabajo habría acabado  como una curiosidad  de presencia obligada en las primeras paginas de cada libro introductorio a la matemática y que continuaría interesando tan sólo a los matemáticos con inclinaciones  filosóficas. Pero  sucedieron  hechos que confirmaron  la necesidad de la lógica como herramienta matemática. A finales del siglo XIX, Georg Cantor creó y desarrolló la parte  más general y más abstracta de la matemática moderna:  la teoría de conjuntos. No pasó mucho tiempo  sin que el propio Cantor, junto  con otros muchos, descubriera descaradas contradicciones en la teoría, es decir, se obtenían demostraciones de ciertos hechos y de sus contrarios, pero de tal forma que burlaban el ojo critico del matemático, tan de fiar hasta entonces. Se obtenían pares de pruebas  de forma que cada una por separado  parecía irreprochable pero que ambas  juntas eran inadmisibles.

El  ejemplo  más simple  de  estos  resultados fue  descubierto por Bertrand Russell al  despojar  de  contenido  matemático a otro  debido  a Cantor:  En  la teoría cantoriana se puede hablar  de cualquier conjunto  de objetos con tal de que se especifiquen  sus elementos sin ambigüedad alguna.  En  particular podemos considerar  el conjunto R cuyos elementos  son exactamente aquellos  conjuntos que no son elementos  de sí mismos. Es fácil  ver que si R es un  elemento  de sí mismo,  entonces  por  definición no debería serlo,  y viceversa.  En  definitiva resulta  que R no  puede  ni  pertenecerse como  elemento  ni  no  hacerlo. Esto contradice a la lógica más elemental.

El lector puede pensar  que esto es una tontería y que basta  no preocuparse de estas cosas para librarnos  de tales problemas, sin embargo sucede que contra- dicciones similares surgen continuamente en la teoría pero afectando a conjuntos no tan  artificiales  y rebuscados  como pueda  parecer  el conjunto R, sino a otros que  aparecen  de forma  natural al trabajar en la materia.  En  cualquier  caso estos  hechos  mostraban que el criterio  que confiadamente han  venido  usando desde siempre  los matemáticos no es inmune  a errores  difíciles —por no decir imposibles— de detectar, al menos al enfrentarse a la teoría de conjuntos.

La primera  muestra de la importancia de la lógica fue un estrepitoso fracaso. Frege había creado (tras  mucho tiempo  de cuidadosa  reflexión) un sistema  que pretendía regular  todo  el razonamiento matemático, de manera  que cualquier resultado que un matemático pudiera  demostrar, debería poder demostrarse siguiendo  las reglas que con tanto detalle  había descrito. Russell observó que la paradoja antes citada  podía probarse  en el sistema de Frege y que, a consecuencia de esto, cualquier afirmación, fuera la que fuera, podía ser demostrada según estas reglas, que se volvían, por tanto, completamente inútiles.

Este desastre, no obstante, mostraba que la laboriosa  tarea  de Frege no era en modo alguno trivial,  y urgía encontrar una sustituta a su fallida teoría.  Con el tiempo surgieron  varias opciones.  La primera fueron los “Principia Mathematica” de Whitehead y Russell,  de una  terrible  complejidad lógica, a la que siguieron muchas  teorías bastante más simples aunque  quizá menos naturales. Destacan entre ellas las teorías de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Ambas constan de unos principios básicos (axiomas)  y unas  reglas  precisas de demostración que permiten deducir de ellos todos los teoremas matemáticos y —hasta  donde hoy se sabe— ninguna contradicción.

De esta  forma la lógica ha probado ser indispensable a la hora de trabajar en teoría de conjuntos, hasta el punto de que es inconcebible el estudio de ésta sin un buen conocimiento de aquélla.

El contenido de la lógica matemática

En  el apartado  anterior hemos mostrado una  de las funciones  principales  de la lógica matemática:  servir  de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa  de lo que es un razonamiento matemático valido. Pero cuando la necesidad obliga al estudio de un determinado campo, el esfuerzo pronto  es premiado  con nuevos resultados inesperados:

Si uno tiene paciencia o un libro de geometría a mano, puede coger una regla y un  compás y dibujar un  pentágono regular. Si ahora  prueba  suerte  con un heptágono no encontrará ningún libro de ayuda  y la paciencia servirá de muy poco. Puede  probarse  que es imposible construir un heptágono regular  sin más ayuda  que una  regla  (no  graduada) y un  compás, pero, para  demostrarlo no basta  con coger una regla y un compás y terminar no construyéndolo. Es necesario reflexionar  sobre qué es construir con regla y compás, dar  una  definición precisa,  comprobar que ´esta se corresponde  con lo que usualmente se entiende por construir con regla y compás y, finalmente,  ver que eso es imposible para  el caso del heptágono regular.

Igualmente, el tener  una  noción precisa  de demostración nos permite  comprender  y resolver  problemas  que  de otro  modo  serian  inabordables:  cuando un matemático hace una  conjetura, puede  meditar sobre ella y, si tiene suerte, la demostrará o la refutará.  Pero  también puede  ser que no tenga  suerte  y no consiga ni lo uno ni lo otro.  Esto  ultimo puede  significar dos cosas:  que no es lo suficientemente buen matemático o que pretenda un imposible.  Cantor llegó a la locura en gran parte  por la frustración que le producía el no lograr decidir la verdad  o falsedad  de una  de sus conjeturas, la llamada  hipótesis  del continuo.  Con ayuda  de la nueva  lógica se ha probado  que ésta no puede  probarse ni refutarse, y no se trata de un caso aislado.  Sucede que estas afirmaciones  no surgen sólo en teoría de conjuntos, donde son el pan  de cada  día, sino que son también abundantes en el análisis y la topología, incluso hay casos en álgebra. Por  ello el matemático necesita  en ocasiones de la lógica para  determinar sus propias  posibilidades  y limitaciones.  El  establecer  este  tipo  de resultados de independencia es una  de las partes  más importantes de la lógica aplicada  a la teoría de conjuntos.

Kurt Gödel
Por  otra  parte,  toda teoría suficientemente rica contiene  resultados de interés interno, en sí mismo.  La lógica moderna,  principalmente de la mano  de Gödel, ha obtenido  resultados sorprendentes e interesantísimos que nos permiten comprender mejor la capacidad y las limitaciones del razonamiento humano, resultados que justifican  por sí solos el estudio de la lógica.  Por ejemplo:  ¿Puede un matemático probar  que 2 + 2 = 5? El lector que responda:  “Claramente no”, o “No, porque es mentira”, o “No, porque 2 + 2 = 4”, o similares, no tiene claros ciertos  conceptos  lógicos.  Esta´ claro que un matemático puede  demostrar que 2 + 2 = 4, más aún, está claro que 2 + 2 = 4, pero el problema  es que la existencia de una demostración de que 2 + 2  ≠ 5 o incluso de la falsedad de que 2 + 2 = 5 no aportan la menor garantía de que no pueda  traer  alguien unos cuantos folios escritos según las “costumbres” de razonamiento de los matemáticos, aun cumpliendo  todas  las condiciones  que estipulan los lógicos,  pero  que termine  con la conclusión 2 + 2 = 5.  ¿Por  qué no puede  ser?  No es un problema  evidente, hasta  el punto  de que puede probarse  —como consecuencia del llamado segundo teorema de incompletitud de Gödel— que es imposible garantizar que no exista tal catastrófica prueba.  Lo demostraremos en su momento.

Sin  animo  de  ser  exhaustivos,  podríamos decir  que  la  lógica moderna  se divide en cuatro  áreas:

a)  Teoría de la demostración.
b)  Teoría de modelos.
c)  Teoría de la recursión.
d)  Teoría de conjuntos.

En  esta  primera  parte  haremos especial hincapié en la teoría de la demostración, que es la parte  más clásica de la lógica, y usaremos la teoría de modelos y la teoría de la recursión como auxiliares  para  el estudio  de la primera. Finalmente aplicaremos  los resultados que obtendremos a la teoría de conjuntos como ejemplo más significativo.  Vamos a probar  la mayoría de los resultados clásicos de la teoría de la demostración, mientras que la teoría de modelos y la teoría de la recursión serán tocadas  muy superficialmente, con la suficiente  profundidad como para  obtener  resultados importantes que  nos serán  necesarios,  pero  no como para  formarnos  una idea del trabajo que se lleva a cabo en estos campos. Este  planteamiento es el más  conveniente  para  los objetivos  que perseguimos, que son dos:  por  una  parte  dotar  al lector  de un  bagaje  lógico  más  que suficiente  para  abordar con comodidad  el estudio  de la teoría de conjuntos, y por otra,  tratar de explicar a través de estos resultados la naturaleza del trabajo del matemático.


- Lectura recomendada y relacionada del mismo autor, aquí .
- Más libros de Carlos Ivorra, aquí y aquí

. imágenes, primera ilustración combinada, las restantes de Wikipedia.
.

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