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» » Un enojoso problema de matemáticas encuentra una solución elegante

Referencia: Eurek.Alert.org .
Contacto: Syl Kacapyr , 18  noviembre 2013

Un problema matemático que ha irritado a los matemáticos durante décadas ha obtenido una solución elegante por investigadores de la Universidad de Cornell. El estudiante de posgrado Yash Lodha, trabajando con Justin Moore, profesor de matemáticas, han descrito una solución geométrica para el problema de von Neumann, descrito por primera vez por el matemático John von Neumann en 1929.

John von Neumann
Lodha presentó su solución en la London Mathematical Society's Geometric y en el simposio de Cohomological Group Theory en agosto, y también lo ha presentado para su publicación en un journal. "La gente estaba muy emocionada con esto", dijo Lodha. " La solución es natural y lo suficientemente convincente para ser estudiada."

Lodha trabaja en el campo de la teoría geométrica de grupos. Un grupo es una construcción matemática que describe la noción de simetría de un objeto, ya sea un objeto físico o de un espacio teórico. Por ejemplo, un polígono tiene rotación igual que simetrías de reflexión, y todas ellas, junto con la operación de composición, forma lo que se llama un grupo finito, ya que dicho polígono puede ser descrito como una secuencia finita de operaciones que refleja sus simetrías.

Formalmente, un grupo puede describirse con las palabras de un alfabeto, junto con un conjunto de reglas que se llaman "relaciones” . Los teóricos de grupo, añade Lodha, son como los biólogos que clasifican las especies, estos matemáticos tratan de categorizar los grupos que tienen las propiedades A, B o C, pero, ¿hay alguno que tenga A, pero no C?

La inspiración para el trabajo de Lodha nació en el siglo XX, cuando los matemáticos empezaron a probar que una pelota que existe en el espacio tridimensional puede ser cortada en un número finito de piezas, "como cortar a pedazos un papel sin estiramientos ni compresión", explicaba Lodha, y después volver a montarlo, como un rompecabezas, en dos pelotas, cada una del tamaño de la pelota original. Esto se conoce como la paradoja de Banach-Tarski.

Von Neumann, cuando estudió esta paradoja, fue el primero en describir la razón que había detrás de esto: Él lo atribuyó, no a la geometría del espacio 3D, sino a las propiedades algebraicas de las simetrías inherentes a la esfera. Fue el primero en aislar esta propiedad, que los matemáticos de hoy llaman "no-amenabilidad”.

Observó, además, que si un grupo contiene grupos libres, los cuales son los que tienen un alfabeto finito y no hay reglas, entonces debe ser ‘no-amenables’. Se planteó la cuestión de si es todo lo contrario, es decir, ¿hay grupos que no contienen grupos libres y son también ‘no-amenables’? El problema, más tarde popularizado por M. M. Day, debió esperar otros 40 años hasta que el matemático Alexander Olshanskii consiguiera romperlo, aunque el grupo de Olshanskii tenía un conjunto infinito de reglas.

Pasaron otras dos décadas para que Olshanskii y Mark Sapir lograran otra solución al problema de von Neumann. Esta vez, su ejemplo estaba gobernado por un finito, pero grandes conjuntos de reglas, cerca de 10.200. También carecía de un modelo geométrico natural. Así pues, los matemáticos probaron con más de un grupo con un conjunto finito de reglas, es decir no-amenables y sin contener grupos libres.

Por primera vez, Lodha describe un grupo que tiene tan sólo nueve reglas, un modelo geométrico natural, no-amenable y que no contiene grupos libres .

Los avances en las matemáticas casi siempre son graduales y suelen construirse sobre trabajos anteriores, aclaró Lodha. Para completar este trabajo, entre sus más valiosas ideas, hubo una descrita por primera vez por el difunto Bill Thurston, el galardonado Fields y profesor de Matemáticas de la Universidad de Cornell, que implicaba una forma de expresar el grupo de una manera diferente, como un "modelo continuo de fracciones."

El trabajo de Lodha también se basa en gran medida en el trabajo de Nicolas Monod, quien construyó una geometría orientada, aunque sin presentar finitos, una suerte de contraejemplo al problema de von Neumann. La contribución de Lodha y Moore ha sido la de aislar un subgrupo presentado finitamente, con sólo nueve relaciones, del ejemplo de Monod.

Seguir trabajando en el grupo, que aún no tiene nombre, podría hacer que la solución al problema de von Neumann se haga más fuerte: aislando las condiciones más fuertes de finitud a fin de demostrar que el grupo tiene un número finito de reglas.


- Fuente: Universidad de Cornell .
- Esta investigación fue financiada por la Fundación Nacional de Ciencia.
- Para más información, contacto con Syl Kacapyr .

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