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» » » La fórmula de Leonardo explica por qué los árboles no se astillan

La cubierta elegante de un tronco de árbol, con sus ramas y ramitas, nos resulta tan familiar que muy poca gente ha notado lo que Leonardo da Vinci observó: Un árbol casi siempre crece de manera que el grosor total de las ramas a una altura determinada es igual al grosor del tronco. Hasta ahora, nadie había sido capaz de explicar por qué los árboles obedecen a esta regla. Parece que este nuevo estudio intenta hallar la respuesta.

La regla de Leonardo es cierta para casi todas las especies de árboles, y los artistas gráficos lo utilizan habitualmente, para crear árboles realistas generados por ordenador. La regla indica que cuando el tronco de un árbol se divide en dos ramas, la sección transversal total de las ramas secundarias será igual a la sección transversal del tronco. Si las dos primeras ramas se dividen a su vez en dos ramas, el área conjunta de las secciones transversales de las cuatro ramas adicionales será igual al área de la sección transversal del tronco. Y así sucesivamente.

Expresado matemáticamente, la regla de Leonardo dice que, si una rama con un diámetro (D) se divide en un número arbitrario (n) de  ramas secundarias, con un diámetro (d1, d2, etc), la suma de los diámetros de ramas secundarias al cuadrado es igual al cuadrado del diámetro de la rama original. O también, en los términos de una fórmula sería D2= ∑di2, de donde i =1, 2, ... n. En los árboles reales, el exponente de la ecuación que describe la hipótesis de Leonardo no es siempre igual a 2, pero no varía de entre 1,8 y 2,3 , dependiendo de la geometría de la especie concreta de árbol. Sin embargo, la ecuación general se acerca bastante y es válida para casi todos los árboles.

Los botánicos tienen la hipótesis de que la observación de Leonardo tuvo algo que ver con la forma de un árbol impulsa el agua desde sus raíces hasta las hojas. La idea es que el árbol necesita del mismo diámetro total de vena desde arriba hasta abajo para regar adecuadamente las hojas.

Pero esto no le suena bien a Christophe Eloy, físico visitante en la Universidad de California (UC), San Diego, afiliado a su vez con la Universidad de Provenza, en Francia. Eloy, es un especialista en mecánica de fluidos, y está de acuerdo en que la ecuación tiene algo que ver con las hojas de un árbol, pero no tanto con la forma en que tomó agua, o con la fuerza del viento recogida por las hojas, por más que sople.

Eloy usó algo una matemática perspicaz para encontrar la conexión con la fuerza del viento. Él hizo un modelo de un árbol como vigas voladizas ensambladas para formar una red fractal. Una viga anclada en un solo extremo, el fractal es una forma que puede dividirse en partes, cada una de ellas es una copia más pequeña, aunque a veces no exacta, de la estructura más grande. Para el modelo de Eloy, esto significaba que, cada vez que una rama más grande se dividía en ramas más pequeñas, se dividía en el mismo número de ramas, aproximadamente en los mismos ángulos y orientaciones. En la mayoría de los árboles el crecimiento se produce de una manera bastante fractal.

Debido a que las hojas de la rama de un árbol crecen todas en el mismo extremo de la rama, Eloy modeló la fuerza del viento soplando en las hojas como la presión de una fuerza en el extremo de una viga voladiza sin apoyo. Cuando conectó la ecuación de fuerza del viento en su modelo, y asumió la probabilidad que una rama rompiese debido a la fuerza constante del viento, se le ocurrió lo de la regla de Leonardo. Más tarde lo probó con una simulación numérica por ordenador que ve el problema desde una óptica diferente, calcula las fuerzas sobre las ramas y luego las utiliza para averiguar el grosor que deben tener dichas ramas a la hora de resistir la rotura (ver ilustración). La simulación numérica predice con exactitud el diámetro de la rama y el rango de 1,8 a 2,3 del exponente de Leonardo, según revela Eloy en un artículo que pronto será publicado en Physical Review Letters.

"Los árboles son organismos muy diversos, y Christophe parece haber llegado a un principio físico simple y elegante, que explica cómo avanza en tamaño el cono de las ramas por el tronco, desde las ramas hasta las ramitas", explica Marcus Roper, matemático de la Universidad de California, en Berkeley. "Es sorprendente y maravilloso que nadie pensara en la explicación del viento antes".

"Este estudio nos aporta la importante consideración de la carga del viento sobre los diseños de estructuras artificiales de gran altura, la Torre Eiffel es quizá el ejemplo más conocido", señala Pedro Reis, ingeniero del Instituto de Tecnología de Massachusetts en Cambridge. Los resultados de esta investigación podrían "afectar a nuestra comprensión de los estragos que el viento puede causar, como la reciente destrucción provocada por el huracán Irene", añade, que derribó los árboles a lo largo de una amplia franja del noreste de Estados Unidos en septiembre.


  • Referencia: Science.org, el 14 de noviembre de 2011, por Kim Krieger
  • Ilustración: La imagen de la izquierda muestra las variables del modelo numérico de Eloy usado para calcular los árboles y poner a prueba su hipótesis de la fuerza del viento. A la derecha se muestra un esqueleto de un árbol antes de calcular los diámetros de las ramas en la simulación.
  • Credit: C. Eloy et al., Phys. Rev. Letters (2011)

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Editor del blog Pedro Donaire

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