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» » La Matemática Experimental

En su libro de 1989, "The Emperor's New Mind", Roger Penrose comentaba acerca de las limitaciones del conocimiento humano de una manera ejemplar: Su conjetura trataba sobre que seguramente nunca sabremos si la cadena de diez sietes consecutivos aparecerían en la expansión decimal del número pi. Tan sólo 8 años más tarde, Yasumasa Kanada utilizó un ordenador para encontrar exactamente esa cadena, partiendo de los decimales 22869046249 de pi. Penrose no estaba solo en su incapacidad para prever la enorme capacidad que los ordenadores pronto poseerían. Muchos fenómenos matemáticos, que no hace mucho tiempo parecían ocultos e incognoscibles, pueden ser  ahora descubiertos, con tremenda precisión.

En su artículo "Exploratory Experimentation and Computation", que aparecerá en la edición de noviembre 2011 de la American Mathematical Society, David H. Bailey y Jonathan M. Borwein, describen cómo la tecnología informática moderna ha ampliado enormemente nuestra capacidad para descubrir nuevos resultados matemáticos. "Calculando las expresiones matemáticas con altísima precisión, el equipo puede descubrir relaciones y fórmulas completamente inesperadas", explica Bailey.

Las matemáticas, la ciencia de los patrones

Un error de percepción común es creer que el trabajo de los matemáticos consiste enteramente en los cálculos. Si esto fuera cierto, hace tiempo que los ordenadores habrían sustituido a los matemáticos. Lo que realmente hacen los matemáticos es descubrir e investigar patrones, los patrones que se presentan en los números, en las formas abstractas, en las transformaciones entre los diferentes objetos matemáticos, y así en adelante. El estudio de tales patrones requieren sutiles y sofisticadas herramientas, y hasta ahora, los ordenadores eran instrumentos demasiado torpes, o insuficientemente poderosos, para ser de mucha utilidad en las matemáticas. Aunque, al mismo tiempo, el campo de las matemáticas creció y profundizó tanto que, hoy en día algunas preguntas parecen requerir capacidades adicionales más allá del cerebro humano.

"Hay un consenso creciente de que la mente humana no es básicamente muy buena en matemáticas, y debe ser entrenada", señala Bailey. "Teniendo en cuenta este hecho, el ordenador puede ser visto como el complemento perfecto para el ser humano, lo que nosotros podemos intuir, aunque no de forma fiable en el cálculo o la manipulación, lo tienen los ordenadores, que no son todavía muy buenos con la intuición, pero son grandes en los cálculos y las manipulaciones."

Aunque se dice que las matemáticas es una "ciencia deductiva", los matemáticos han utilizado siempre la exploración, ya sea mediante cálculos o imágenes, para poner a prueba las ideas y ganar a la intuición, de la misma manera que los investigadores en las ciencias inductivas llevan a cabo experimentos. Hoy día, este aspecto inductivo de las matemáticas ha crecido gracias al uso de lo ordenadores, que han aumentado enormemente la cantidad y el tipo de exploraciones que se pueden hacer. Los ordenadores se han utilizado, por supuesto, para aliviar la carga de largísimos cálculos, pero también para visualizar objetos matemáticos, descubriendo nuevas relaciones entre objetos, y probar las conjeturas (y en especial la falsabilidad). Un matemático también puede utilizar un ordenador para explorar un resultado por si vale la pena intentar una prueba. Si es así, entonces el ordenador puede dar pistas sobre cómo podría continuarse esa prueba. Bailey y Borwein, utilizan el término "matemática experimental" para describir este tipo de usos de los ordenadores en las matemáticas.

Explorando números primos con ordenadores

Su artículo ofrece varios ejemplos de matemática experimental, los cálculos de los dígitos de pi mencionados anteriormente es uno de ellos. Otro ejemplo es el de las exploraciones por ordenador de un problema matemático conocido como la conjetura de Giuga. Dicha conjetura propone que, para cualquier entero positivo n, uno puede comprobar definitivamente si n es primo, mediante el cálculo de una suma determinada, en la que n aparece en el exponente de los sumandos. Esta suma tendría un cierto valor, llamado S, si y sólo si n es primo; dicho de otra manera, dicha suma no tendría el valor de S si y sólo si n es compuesto. A pesar que la conjetura data de 1950, nunca ha sido probada, y parece estar fuera del alcance de los métodos convencionales matemáticos.

Sin embargo, Bailey y Borwein, junto con sus colaboradores, fueron capaces de usar los ordenadores para demostrar que cualquier número que sea una excepción a la conjetura de Giuga debe tener más de 3.678 factores primos distintos, lo que nos sale por una longitud de más de 17.168 dígitos decimales. Es decir, cualquier número menor compuesto no puede resultar con el valor de S. Esto no prueba que la conjetura de Giuga sea cierta, pero es una conviencente pieza evidencial a favor de la verdad de esta conjetura. Este tipo de evidencia empírica es, a veces, justo lo que se necesita para generar la confianza suficiente para que un matemático pueda dedicarle suficiente energía a la búsqueda de una prueba completa. Sin esa confianza, la inspiración para sacar adelante ese trabajo fallaría.

Impacto en la Educación

Además de debatir sobre los usos avanzados de los ordenadores en las matemáticas, el artículo también se refiere a la necesidad de remodelar la enseñanzas de las matemáticas y dar a los estudiantes las herramientas de la matemática experimental. "Los estudiantes de hoy viven, como nosotros, en un mundo rico en información pero pobre en criterios, donde la explosión de la información y de las herramientas, no van a disminuir", señala Borwein. "Así que tenemos que enseñar a juzgar (no sólo en cuanto al plagio se refiere), cuando se trata de usar las posibilidades ya disponibles digitalmente. Además, me parece fundamental que trazemos nuestro diseño de software, y por qué no, nuestro estilo de enseñanza en general, con nuestra creciente comprensión de nuestros puntos cognitivos fuertes y nuestras limitaciones."

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Editor del blog Pedro Donaire

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