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» » Descubren nuevas formas de recuento de particiones con soluciones fractales

 Descubren un nuevo recuento de patrones que explica y elabora los crípticos enunciados formulados por el matemático autodidacta Srinivasa Ramanujan en 1919 .

Para alguien que murió a la edad de 32 años, en gran parte autodidacta matemático indio, Srinivasa Ramanujan, ha dejado un impresionante legado de conocimientos sobre la teoría de números, entre ellos muchas afirmaciones que no se apoyan en pruebas. Una de sus más enigmáticas declaraciones, hechas hace casi un siglo, fue la del recuento del número de formas que puede ser expresado un número como una suma, que ahora ha ayudado a los investigadores a encontrar inesperadas estructuras fractales en el paisaje del recuento.

Esta declaración de Ramanujan concierne al engañosamente simple concepto de las particiones, las diferentes maneras en que un número entero puede ser dividido en un número menor. Ken Ono, de la Emory University y sus colaboradores, han descubierto nuevas formas de contar todas las particiones posibles, y hallaron que los resultados forman fractales, es decir, estructuras en las que los patrones o formas se repiten de forma idéntica en múltiples escalas diferentes. "La teoría fractal que hemos descubierto completamente responde a una enigmática declaración de Ramanujan", señala Ono. Estos problemas que el equipo ha conseguido romper se consideraban santos griales de la teoría de números, y sus soluciones puede tener repercusiones en toda la matemática.

Una manera de pensar de particiones, es considerar cómo un conjunto de (indistinguibles)  objetos se pueden dividir en subconjunto. Por ejemplo, si usted necesita almacenar cinco cajas en el sótano, puede apilarlas todas en una sola pila, ponerlas en el suelo por separado como cinco subconjunto que contiene una caja cada uno; ponerlos en una pila, o subconjunto de tres, más una pila de dos, y así sucesivamente, hasta un total de siete opciones:

5,, 1+1+1+1+1,, 1+1+1+2,, 1+1+3,, 1+4,, 1+2+2 ó 2+3

Los matemáticos expresan esto diciendo p(5) = 7, donde p significa partición. Para el número 6 hay 11 opciones: p(6) = 11. A medida que el número n aumenta, p(n) comienza a crecer muy rápido, así por ejemplo p(100) = 190.569.292 y p(1000) resulta un número de 32 dígitos (El motor de búsqueda WolframAlpha calcula particiones de números hasta de un millón).

El concepto es tan básico y fundamental que resulta esencial para la teoría de números y también aparece en la mayoría de los otros campos de las matemáticas. Los matemáticos sabían hace ya tiempo que la secuencia de números realizados por p(n), está lejos de ser aleatoria para todos los valores de n. Ramanujan, y otros después de él, descubrieron fórmulas que predecían el valor de p(n) con una buena aproximación. En general, las fórmulas "recursivas" han existido hace mucho tiempo para calcular p(n), pero no podían acelerar mucho los cálculos, ya que para encontrar p(n) primero tenían que saber p(n - 1), p(n - 2 ) y así sucesivamente. "Eso era impracticable, incluso con la ayuda de un ordenador de hoy en día", explicó Ono.

Una fórmula directa, en principio, para calcular el valor exacto de p (n) sería más rápido. Otra de las ventajas de una fórmula directa sería la capacidad para comparar los valores de p (n) para números n arbitrariamente grandes, y por lo tanto, demostrar la existencia de patrones, tal como las propiedades que se repiten a lo largo una secuencia infinita entera.

La declaración original de Ramanujan, de hecho, surgió de la observación de los patrones, como el de que  p(9) = 30, p(9 + 5) = 135, p(9 + 10) = 490, p(9 + 15) = 1575, etcétera, son todos divisibles por 5. Hay que darse cuenta aquí, que el número n viene en intervalos de cinco unidades.

Ramanujan postuló que este modelo debía seguir indefinidamente, y que existen patrones similares cuando el 5 se sustituye por 7 u 11, hay secuencias infinitas de p (n) que son divisibles por 7 u 11, o, como dicen los matemáticos, en el que los "módulos" [1] son 7 u 11.

Más tarde, en tono casi oracular, Ramanujan continuó: "Parece que hay propiedades que se corresponden", escribió en 1919, en el que los módulos son potencias de 5, 7 u 11 ... y no hay propiedades simples de ningún módulo que involucre a otros números primos distintos de estos tres" (los números primos son números enteros sólo divisibles por sí mismos o por 1). Así, por ejemplo, debe haber fórmulas para una infinidad de números n separados por 5^3 = 125 unidades, que indiquen que el correspondiente p(n) deben ser totalmente divisible por 125.

En años posteriores, los matemáticos han podido ir probando simples casos basados en la declaración de Ramanujan. En cuanto a que "no hay propiedades simples" podría significar, que nadie lo sabía, hasta ahora.

Trabajando con Jan Hendrik Bruinier, de la Universidad Técnica de Darmstadt, en Alemania, Ono ha desarrollado la primera fórmula exacta para calcular p(n) para cualquier n. Y en un documento separado, con Zachary A. Kent, también de Emory, y Amanda Folsom, de la Universidad de Yale, ha identificado los patrones que probablemente ni siquiera Ramanujan habría soñado.

Los patrones enlazan ciertas secuencias de p(n), donde los números n son separados por potencias de cualquier número primo por encima de 11. Por ejemplo, tomemos el siguiente primo, 13, y la secuencia p(6), p(6 + 13), p(6 + 13 + 13) y sucesivos. Las fórmulas de Ono vinculan estos valores con los de p(1.007), p(1.007 + 13^2), p(1.007 + 13^2 + 13^2) y sucesivos. Estas mismas fórmulas vinculan la última secuencia con un primo donde n viene en intervalos de 13^3, y sucesivamente para los exponentes más y más grandes (Las fórmulas son un poco más sutiles que decir que los p(n) son los múltiplos de un número primo). Tal recurrencia es típica de las estructuras fractales, como el conjunto de Mandelbrot, y es el equivalente en la teoría de números al zoom en un fractal, explica Ono.

Ono dio a conocer sus descubrimientos el 21 de enero en un simposio convocado especialmente en la Universidad de Emory. Por la tarde, la noticia tuvo ecos en todo el mundo de las matemáticas, y su correo electrónico se había llenado con 1.500 mensajes de matemáticos, periodistas y "chiflados", dijo. (Ono, Folsom y Kent, publicaron su demostración en el sitio web del Instituto Americano de Matemáticas, y también fue enviado a una revista. La prueba completa de la nueva fórmula aún sigue redactándose, apuntó Ono)

"Ken es un fenómeno", comenta George E. Andrews, un experto en particiones, de la Universidad de Pennsylvania. La nueva visión de los fractales desde las particiones, añade Andrews, "provee de una superestructura que nadie podía anticipar hace pocos años."

¿Tienen estos descubrimientos alguna utilidad práctica? Es difícil de predecir, observa Andrews. "A menudo, a la comprensión profunda de un fundamento matemático puro le lleva su tiempo poder filtrarse para las aplicaciones." Los últimos métodos desarrollados para comprender las particiones han sido posteriormente aplicados a los problemas de física, como la teoría de la fuerza nuclear fuerte o la entropía de un agujero negro .

Entre tanto, los matemáticos no dejan de asombrarse por la mente de Ramanujan. Muchas de sus afirmaciones, apunta Ono, han resultado incorrectas, pero su obra aún es capaz de iluminar varios estudios teóricos en la actualidad. "Todo esto que ahora estamos estudiando, por alguna extraña razón Ramanujan fue capaz de anticiparlo."

"Fue un genio mágico",  añadió Andrews, "y el resto de nosotros desearía saber cómo fue capaz de ver tan profundamente."

  • Referencia: ScientificAmerican.com, por Davide Castelvecchi  | 8 Febrero 2011
  • Imagen: Wikipedia Commons / Wolfgang Beyer
  • [1] modulus (módulo), pieza o conjunto unitario de piezas que se repiten en una construcción de cualquier tipo para hacerla más fácil, regular y económica (Matemáticas)

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