Divulgación científica y humanística

Comprimir diamantes a presiones de 50 millones de atmósferas terrestres

Referencia: ScienceAlert.com.au .
por Bec Crew, 23 de agosto 2014

Un equipo de físicos de Lawrence Livermore National Laboratory’s National Ignition Facility en California, han utilizado el láser más grande y potente del mundo para comprimir un diamante sintético a presiones de 50 millones de veces la atmósfera de la Tierra. Esto les ha permitido recrear por primera vez las profundas condiciones en que se encuentran los núcleos de los planetas gigantes de gas y las súper-Tierras.


Puesto a ello, crearon un diamante sintético, del cual extrajeron una pequeña muestra de tamaño milimétrico y le impactaron 176 haces láser de fusión de alta potencia, en medio de la parte superior de la muestra, y en medio de la parte inferior. "Tras el disparo, los físicos midieron la tasa de material diamantino en movimiento bajo el tremendo calor y las contra-reacciones", explican en Neomatica. "A medida que la pieza cilíndrica de diamante se comprime, su centro va sobresaliendo a velocidades extremadamente altas. La velocidad máxima medida fue de unos 45 kilómetros por segundo."

El equipo midió el pico de presión que su muestra de diamante experimentó, que llegó a ser de 5 billones pascales --o 5 terapascals--, y en este punto, la densidad del diamante se había más que triplicado, empaquetando su masa en casi una cuarta parte del volumen que tenía en un principio. Esto permitió al equipo para simular cómo se ​​comportaría la densa materia ante la increíble presión que existe dentro de los núcleos de los gigantes gaseosos como Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, y los planetas súper-Tierra de fuera del Sistema Solar.

El equipo tiene previsto utilizar esta técnica para completar los modelos de evolución del planeta y, en futuros experimentos, probarán a ejercer presiones sobre las muestras de diamantes de hasta 7 terapascals, que se cree que es la presión en el centro profundo de Júpiter. "Todo ello facilita el estudio de entornos aún más extremos", informa Neomatica, "por ejemplo, en el centro de las estrellas."

Estos resultados fueron publicados en la revista Nature.


- Artículo original: “World's largest laser compresses diamond to pressures of 50 million Earth atmospheres”
- Imagen: Instalación Nacional de Ignición. Credito: NasaBlueShift, NNSA / Creative Commons
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Infografía historia de la Inteligencia Artificial

Referencia: LiveScience.com .
por Karl Tate, 25 agosto 2014

Los avances en inteligencia artificial (IA) han dado a los ordenadores del mundo que puede vencer a la gente en el ajedrez y en el "Jeopardy!", así como conducir coches y gestionar calendarios. Pero a pesar de los avances, los ingenieros todavía están a años luz de que las máquinas sean conscientes de sí mismas. Algunos creen que la singularidad tecnológica podrá erradicar la pobreza y la enfermedad, mientras que otros advierten que podría poner en peligro la supervivencia humana.

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- imagen Karl Tate, Tanya Lewis / LiveScience.com
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Introducción a la lógica matemática (3)

por el Profesor Carlos Ivorra Castillo


El finitismo

No toda la matemática necesita una fundamentaron axiomática formal. Ésta es necesaria  sólo porque  la matemática trata con conjuntos infinitos. Si un matemático trabaja exclusivamente con conjuntos finitos, por ejemplo, grafos finitos, grupos finitos, etc., puede prescindir  por completo de axiomas y reglas de razonamiento formal. Nadie ha encontrado jamás una paradoja que involucre exclusivamente conjuntos finitos (4)  ni error de razonamiento sobre conjuntos finitos que no sea detectable sin más que prestar suficiente  atención al discurso. Esto vuelve remilgados y vanos  —en este contexto—  muchos  de los escrúpulos del formalista radical.

Pongamos algunos ejemplos. Es fácil calcular 3 × 4 = 12 y 4 × 3 = 12, lo que nos convence de que 3 × 4 = 4 × 3.  Hay,  sin embargo,  una forma de razonarlo  que es especialmente fructífera. 

Pensemos  en el rectángulo siguiente:

Podemos considerarlo formado por 3 veces 4 cuadrados o por 4 veces 3 cuadrados. Lo que muestra que, necesariamente, 3 x 4 = 4 x 3. Esto ya lo sabíamos, pero  hay  una  diferencia: si calculamos 3 + 3 + 3 + 3 y 4 + 4 + 4 y vemos que da lo mismo,  sabemos eso y nada  más  que eso, mientras que el argumento del rectángulo nos convence de que m × n = n × m  para  cualquier par  de números m y n (no nulos, en principio). En efecto, está claro que, sean quienes sean  m y n,  siempre  podremos  construir un  rectángulo formado por m filas de n cuadrados o, equivalentemente, por n columnas  de m cuadrados. Vemos así que —para  desesperación de un formalista radical— la prueba de un caso particular contiene  la prueba  del caso general.

Quien considere que de un caso particular —o incluso de varios— nunca es lícito  inferir  el caso general,  está  generalizando ilícitamente  a partir de uno  o varios casos particulares. Por  ejemplo, no es muy difícil probar que la ecuación x 3 + y 3 = z 3 no tiene  soluciones enteras, pero la prueba no muestra más  que eso, de modo que no es lícito deducir de ella que la ecuación x n + y n = z n no tiene  soluciones enteras para n > 2. El hecho de que los primeros  números de la forma 2 2n + 1 sean primos no nos permite asegurar que todos  ellos lo sean.

En ambos casos tenemos meras comprobaciones aisladas  que no aportan nada sobre el caso general. Por el contrario, el argumento del rectángulo contiene un esquema  uniforme  de razonamiento, en el sentido  de que cualquiera que comprenda el argumento se sabe capacitado para  generar  razonamientos concretos que prueben la conmutatividad de cualquier par de factores (5).

El argumento del rectángulo es un ejemplo de razonamiento finitista que nos proporciona una verdad  sobre los números naturales. El formalista  radical preguntará qué debemos  entender por  “números naturales” y “producto”  en dicho razonamiento. No podemos  permitirnos el lujo de responderle como a él le gustaría: necesitamos los números naturales para fundamentar la matemática, es decir, mucho  antes  de estar  en condiciones de responder a las exigencias del formalista. Eso no nos exime de responder:

Cójase a un  niño que  no sepa contar pero que esté en edad de aprender. Enséñesele a contar. Con ello, el niño habrá pasado  de no saber contar  a saber contar. Algo habrá aprendido. Lo que ha aprendido es lo que son los números naturales. Sería  inútil  que repitiera aquí lo que no sería ni más ni menos que lo que el lector aprendió en su infancia. Del mismo modo, “multiplicar” es eso que todos sabemos hacer cuando nos dan una  expresión como “12 × 345 =” y nos piden que la completemos. Es una operación que nos lleva de dos números a otro número de forma objetiva, en el sentido de que dos personas  cualesquiera que sepan multiplicar llegarán siempre al mismo resultado y, de no ser así, será fácil sacar de su error a quien se haya  equivocado.

Supongamos  que hemos enseñado a contar a un niño de tal modo que éste es capaz  de decidir cuál de dos números naturales dados (en forma decimal, por ejemplo) es mayor, así  como de escribir el siguiente de un número dado. En cuanto tenga  esto debidamente asimilado, pregúntesele cuál es el mayor de todos los números. Sin duda  responderá que no hay tal número, pues él se sabe capaz de superar  cualquier número que le sea dado. A poco que se le explique la diferencia entre  lo finito y lo infinito, sabrá ver ahí la prueba  de que el conjunto de los números naturales es infinito. Quizá no sepa si el conjunto de las estrellas es finito o infinito, pero sabrá que el conjunto de los dedos de su mano es finito y el conjunto  de los números es infinito.

El punto crucial es que estos conocimientos no son precarios y basados en la  credulidad de los niños, sino que son firmes y objetivos, en el sentido de que, en cuanto un niño ha comprendido adecuadamente el significado de los términos “numero”, “finito” e “infinito”, tal  vez podremos  engañarle y hacerle creer cualquier cosa sobre el número de estrellas, pero jamás conseguiremos que crea  que tiene infinitos dedos en su mano o que hay una cantidad finita de números naturales. Las afirmaciones estrictamente matemáticas sobre los números nunca han generado ni pueden generar polémica sobre si son verdaderas o falsas (6).

Estos ejemplos pretenden mostrar que es posible razonar con objetividad, seguridad, precisión y, por consiguiente, rigurosamente, sobre algunos conceptos sin depender de sistemas axiomáticos. ¿De qué conceptos,  concretamente? Es muy difícil, si no imposible, establecer fronteras precisas. El finitismo consiste en aceptar que el razonamiento humano no corre riesgos de extravío mientras se limite a considerar conceptos y procesos finitos. Así, Hilbert, en su programa  de fundamentaron de la matemática, propugnó la búsqueda de un sistema axiomático adecuado para este fin, de modo que, tanto la construcción del sistema como la comprobación de que satisfacía los requisitos  necesarios  para considerarlo aceptable, tenía que llevarse a cabo mediante argumentos finitistas que —por consiguiente—  no requirieran la teoría buscada  y no nos llevaran así al callejón sin salida al que conduce inexorablemente el formalismo radical.

En  definitiva, la propuesta de Hilbert era fundamentar la matemática, no finitista  en su mayor parte, con una metamatemática finitista, que carece  de los problemas  característicos de la matemática no finitista  —que el formalista radical  extrapola catastróficamente a toda  la matemática— y por consiguiente no requiere de una fundamentaron formal para justificar su solidez.

Esto  no significa que no se pueda especular sobre la fundamentaron de la metamatemática, pero ésta ya no corresponde al ámbito de la matemática o de la lógica, sino de la teoría del conocimiento, y el matemático puede  prescindir de tratar este problema ya que, en todo caso, la cuestión sería en qué se funda nuestra capacidad de razonamiento básico, no si dicha capacidad es o no sólida y fiable (7).

Más allá del  finitismo

Aunque la mayor parte de la metamatematica puede desarrollarse en el marco  finitista  que exigía Hilbert, lo cierto  es que algunos resultados valiosos, como el teorema  de completitud semántica de Gödel, exigen nuestra confianza  en argumentos algo más audaces. Por ello conviene cambiar la  pregunta más  tímida  de  ¿qué  tipo  de  razonamientos necesitamos  sostener sin el apoyo  de una  teoría axiomática?  por la más ambiciosa  de ¿qué tipo  de razonamientos podemos sostener  sin el apoyo de una teoría axiomática?

La tesis general que adoptaremos aquí es la siguiente: Para que un razonamiento  sea aceptable metamatemáticamente ha de cumplir  dos condiciones:

a) Ha de ser convincente, en el sentido de que nadie que lo comprenda pueda tener dudas serias (8) sobre la verdad  de su tesis.
b) Todas las afirmaciones involucradas han de tener un significado preciso y objetivo independiente de los argumentos que las demuestren.

Nos encontramos aquí con un fenómeno omnipresente en la metamatematica: mientras el matemático está acostumbrado a ir de lo general a lo particular (así por  ejemplo, sólo después de definir la noción general de continuidad de una función es cuando  se plantea si una función dada es o no continua) esta actitud rara vez es posible en la metamatemática. De este modo, aunque no tenemos ninguna  definición general, objetiva  y precisa  de qué es un razonamiento convincente  —y por consiguiente el enunciado  de la condición  a) es obviamente ambiguo e impreciso—, afortunadamente, no necesitamos tenerla para reconocer un argumento objetivo  y preciso (en particular convincente) cuando lo tenemos delante. Por ejemplo, el argumento del rectángulo demuestra la conmutatividad del producto de números naturales sin dejar  lugar  a dudas. Su poder de convicción es objetivo en el sentido de que no depende de la capacidad de sugestión o de dejarse engañar de quien lo escucha, sino que, por el contrario, nadie que lo conozca puede albergar  ya el menor recelo de encontrarse con un par de números que al multiplicarlos en uno y otro orden produzcan resultados distintos.

La segunda condición está relacionada con la diferencia  fundamental entre matemática y metamatemática: cuando un matemático trabaja en el seno de una teoría axiomática formal, no está legitimado a hablar de la verdad o falsedad de las afirmaciones que demuestra. Para  él sólo hay afirmaciones  demostrables y no demostrables o, si se quiere hilar más fino, afirmaciones demostrables, refutables e independientes de sus axiomas (las que no se pueden  demostrar o refutar). En cambio, en metamatemática no podemos  hacer  esta  distinción ya que  no tenemos una noción precisa  de lo que es ser (metamatemáticamente) demostrable. Nuestra única posibilidad, pues, de distinguir afirmaciones como 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5 y 2N0 = N1 es decir que la primera es verdadera, la segunda es falsa y la tercera no tiene significado metamatemático porque  no cumple  la condición b). Una vez más, no tenemos una definición general de qué quiere decir que una afirmación sea verdadera, pero sí sabemos lo que quiere decir que  algunas  afirmaciones  sean  verdaderas, y esas afirmaciones son las unicas que podemos permitirnos el lujo de manejar metamatemáticamente. Pongamos algunos ejemplos.

Sabemos demostrar que el producto de números naturales es conmutativo, pero, independientemente de cualquier  razonamiento que nos convenza  de ello, sabemos lo que eso significa: significa que si tomamos  dos números cualesquiera y hacemos lo que sabemos  que  hay  que  hacer  para  calcular su  producto, el resultado es el mismo  independientemente del orden en que los tomemos. A priori habría dos posibilidades: que hubiera pares de números para  los que esto fuera  falso o que no los hubiera. Tenemos un razonamiento que nos convence de que la primera  posibilidad es, de hecho, imposible, pero es esencial que antes de tal razonamiento ya sabíamos lo que significaban ambas opciones.

Un ejemplo más sofisticado: En el capitulo VII definiremos  una  propiedad de números naturales a la que de momento podemos llamar “ser simpático” (9)

Existe un procedimiento para  saber si un número dado es simpático o no, exactamente de la misma naturaleza que el que nos permite saber si es primo o no. Pero suceden los siguientes  hechos:

a)  No es posible probar  que todo natural es simpático.
b)  Hasta  la fecha nadie ha encontrado un natural antipático y es muy dudoso que exista  alguno.

Tiene  sentido  afirmar  que  todo  natural es simpático. Significa  que  0 es simpático, 1 es simpático, 2 es simpático ... etc. o sea, que por mucho que uno avance  en el examen  de números más y más grandes  nunca  se encuentra una excepción.

La afirmación “Todos los naturales son simpáticos” es metamatemáticamente  aceptable porque  tiene  sentido  decir que es verdadera o falsa independientemente de lo que  podría hacerse por justificarla (lo que, según lo dicho, es imposible). No sabemos si es verdadera o falsa, pero sabemos lo que es que sea verdadera o falsa.

El concepto de “número simpático” es finitista,  pues comprobar si un número es o no simpático se reduce a un número finito de cálculos. No obstante, podemos definir también un número “supersimpático” como un número tal que todos los números mayores que él son simpáticos. Esta noción ya no es finitista. De hecho no tenemos  manera  de saber si 3 es supersimpático o no, pero lo importante es que tiene sentido: o lo es o no lo es, o hay un nu´mero antipático mayor  que 3 o no lo hay.

Pensemos ahora en el conjunto A de todos los conjuntos cuyos elementos son números naturales. No podemos asignar un contenido metamatemático a esta definición. Una vez más nos encontramos con el mismo fenómeno: sabemos lo que es el conjunto de los números pares, el de los números primos, el de las potencias de dos, e infinitos más, pero no tenemos ninguna definición precisa de lo que  es un  conjunto de números naturales en abstracto, ni tenemos, en particular, representación alguna de la totalidad de tales conjuntos. Todas las contradicciones de la teoría de conjuntos surgen de la pretensión de hablar de colecciones de objetos  en sentido abstracto como si supiéramos de qué estamos hablando.

Quizá el lector crea tener una representación intuitiva del conjunto A, pero deberá reconsiderarlo ante los hechos: los axiomas de la teoría de conjuntos con- tienen  todo  lo que los matemáticos saben  decir sobre su presunta intuición de los conjuntos abstractos. En particular, de ellos se deducen muchas propiedades de A, tales como que no es numerable. Sin embargo, quedan  muchas  afirmaciones sobre A que no pueden ser demostradas o refutadas.

La más famosa  es la hipótesis del continuo: ¿Existe un conjunto infinito B ⊂ A tal que B no pueda biyectarse con el conjunto de los números  naturales y tampoco con A? Si el conjunto A tuviera un contenido  intuitivo preciso, esta  afirmación tendría que ser verdadera o falsa. Ahora bien, veremos  que es posible construir modelos de la teoría de conjuntos, es decir, podemos  encontrar unos objetos a los que, si los llamamos “conjuntos” satisfacen  todos  los axiomas que los matemáticos postulan sobre los conjuntos, de modo que la hipótesis del continuo, interpretada  como una  afirmación sobre estos objetos, resulta ser verdadera, mientras que es posible hacer  lo mismo con otra  interpretación distinta de la noción de “conjunto” y de tal  modo que la hipo´tesis del continuo  resulta  ser falsa.  Más precisamente, interpretando de formas distintas esa noción de “conjunto” dentro del margen de libertad que nos concede el hecho de que los axiomas de la teoría de conjuntos no la determinan por completo,  podemos construir dos objetos A1 y A2 , ambos con el mismo derecho a ser llamados “la totalidad de los conjuntos de números naturales” (de acuerdo  con distintas nociones de “conjunto”) y de modo que una cumpla la hipótesis del continuo y la otra no. ¿Cómo se puede digerir esto?

Sólo hay una  posibilidad: reconocer que nuestro conocimiento de la noción de “conjunto” es impreciso. Sólo sabemos que los conjuntos han de cumplir unas propiedades básicas, pero existen distintas interpretaciones posibles de la palabra “conjunto” que hacen que esas condiciones básicas sean satisfechas. Cuando decimos que A no tiene un significado metamatemático preciso no queremos decir que A no signifique nada en absoluto, sino más bien  que puede  significar infinitas cosas distintas y no somos capaces  de precisar a cuál de todas queremos referirnos. Por ello nuestra única posibilidad para hablar de A sin caer en vaguedades o contradicciones es postular unos axiomas que recojan  lo que estamos suponiendo que  cumplen los conjuntos y, a partir de ahí, podremos trabajar con seguridad.

Éste es el origen de todos los temores y recelos del formalista radical. Esta clase de fenómenos son los que —en ciertas  situaciones— hacen imposible razonar cabalmente sin el apoyo de una teoría formal. Pero si queremos fundamentar los razonamientos sobre conjuntos abstractos y entenderlos mejor, hemos de empezar por comprender que los problemas están limitados a este terreno: al de los conjuntos abstractos, pues sólo así comprenderemos que es posible una metamatemática basada no en la forma, sino en el contenido de las afirmaciones que involucra.

Carlos Ivorra
Este punto de vista nos permite ir un poco más lejos que el finitismo estricto. Así, por ejemplo, ya hemos visto que la afirmación 3 es supersimpático no es finitista pero sí es aceptable. Notemos que involucra un infinito real, en el sentido de que, aunque aparentemente sea una afirmación sobre el número 3, en realidad es una  afirmación sobre la totalidad de los números naturales, no sobre una cantidad finita de ellos. Es posible definir una propiedad más débil que la de ser simpático y supersimpático (10) de modo que, en este  nuevo sentido, sí pueda probarse que 3 es supersimpático, y sin que esto deje de ser una  afirmación sobre  la totalidad de los nu´meros naturales. La prueba  es un argumento que nos convence de que jamás encontraremos un número natural que no sea (débilmente) simpático e involucra esencialmente a los números naturales como conjunto infinito. De todos modos, los argumentos no finitistas  aparecerán en muy contadas ocasiones en la teoría, bien sea porque no aparezcan en sentido estricto, bien porque con pequeñas modificaciones técnicas podrían eliminarse sin dificultad.

Platonismo

En contra de lo que podría parecer, nada de lo que acabamos de discutir  pretende negar la posibilidad de que sí exista, después de todo, una  noción objetiva  de “conjunto” en sentido  abstracto. Los matemáticos que creen que así se llaman  “realistas” o “platónicos”. No intentaré defender una  postura que no comparto, pero sí es importante sen˜alar que nada en este libro contradice el platonismo. Lo único que debemos tener presente es que, si existe una  interpretación natural de la teoría de conjuntos, la única forma que tenemos de acercarnos a ella con seguridad y rigor es a través de una  sucesión de sistemas  axiomáticos que vayan incorporando cada  vez más axiomas  para cubrir los agujeros de los sistemas anteriores, pero nunca metamatemáticamente. El problema, entonces, es decidir cuál de las dos alternativas a que da  lugar una  afirmación indecidible en un sistema  axiomático es la  verdadera en  esa pretendida interpretación natural de la teoría. Así, si se concluye que la hipo´tesis del continuo debe ser verdadera tendremos que añadirla como un nuevo axioma y entender que los resultados que se demuestran con la negación de la hipótesis del continuo tratan sobre unos objetos  artificiales que no son los conjuntos en el sentido usual. Naturalmente también podría darse el caso  contrario y el problema es la falta de criterios para distinguir lo verdadero de lo falso a este nivel.


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. Notas:
(4) Podría objetarse que “el menor número natural no definible con menos  de doce palabras” es contradictorio, pero es que  aquí la noción de “definible” no está bien  definida.
(5) La clave  está en que se sabe capacitado a priori. En  realidad, cualquiera está capacitado para ello aunque pueda no  saberlo: basta calcular m × n y  n × m y comprobar que da lo mismo. La diferencia es que quien conoce el argumento del rectángulo sabe  de antemano que su argumento va a funcionar con factores cualesquiera, mientras que quien hace las operaciones no tiene la seguridad en cada  caso hasta que no acaba los cálculos. Por eso no puede asegurar que la multiplicación es conmutativa.
(6) Otra cosa es polemizar sobre si podemos asegurar que cualquier afirmación sobre  números es verdadera o falsa, especialmente cuando no sabemos cómo comprobarla, pero jamás —que yo sepa— ha habido dos personas que e creyeran con  argumentos racionales que probaran tesis opuestas sobre una propiedad de los números naturales o de conjuntos finitos en general.
(7) Evidentemente, se puede dudar de la fiabilidad de nuestra capacidad de  razonamiento finitista como se puede dudar de si existe o no el mundo, pero eso es escepticismo, un mal que sólo afecta a los que hablan por hablar y a los que  piensan por pensar.
(8) Esto excluye a las dudas que tengan su origen en un escepticismo sistemático.
(9) Se trata de “no ser el número de Gödel de la demostración de una contradicción en ZFC”.
(10) Por ejemplo, sin más que sustituir ZFC por la aritmética de primer orden.

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Introducción a la lógica matemática (2)

por el Profesor Carlos Ivorra Castillo


Matemática y metamatemática

Una gran parte  de la lógica moderna constituye una rama más de la matemática, como pueda serlo el álgebra o el análisis, pero hay otra parte que no puede ser considerada del mismo modo, y es precisamente  la que más nos va a interesar. Se trata de la parte  que se ocupa de los fundamentos de la matemática.  Para que un argumento matemático sea aceptable es necesario  que satisfaga unas  condiciones de rigor, condiciones que los matemáticos aplican  inconscientemente y que ahora  nos proponemos establecer explícitamente, pero precisamente por eso ser´ıa absurdo  pretender que los razonamientos y discusiones que nos lleven a establecer el canon de rigor matemático deban  someterse  a dicho  canon, del que —en nuestra peculiar  situación— no disponemos a priori.  Esto  plantea el problema  de cómo ha de concebirse  todo cuanto  digamos hasta  que dispongamos  de la noción de rigor matemático.

Esto  nos  lleva  a  la  distinción entre  matemática y  metamatemática.  Matemática es lo que hacen los matemáticos. Cuando  hayamos  alcanzado  nuestro objetivo,  podremos  decir qué es exactamente hacer  matemáticas. De momento podemos  describirlo grosso modo: Hacer  matemáticas consiste  en  demostrar afirmaciones,  en un  sentido  de la palabra “afirmación”  que hemos de precisar y en un sentido  de la palabra “demostrar” que hemos de precisar,  a partir de unas  afirmaciones  fijas que llamaremos  axiomas  y que también hemos de precisar (1).  Por  otra  parte,  hacer  metamatemáticas es razonar  sobre afirmaciones, demostraciones, axiomas  y, en general,  sobre todo  aquello que necesitemos  razonar para  establecer  qué es la matemática y cuáles son sus posibilidades  y sus limites.

Por  ejemplo,  una  afirmación  matemática es “los  poliedros  regulares  son cinco”, mientras que una afirmación metamatemática es “los axiomas de Peano son cinco”.  Pese a su similitud formal, es crucial reconocer que son esencialmente distintas. Cuando  hayamos “capturado” la nocion de razonamiento matemático, podremos  entender la primera  de ellas como un teorema, una  afirmación cuya verdad  se funda  en que puede  ser demostrada matemáticamente, mediante un razonamiento que satisfará todas las exigencias de rigor que habremos  impuesto. En cambio, la segunda  no es un teorema  demostrable a partir de ningunos axiomas.  Simplemente expresa  que cuando  escribimos  en un papel  los axiomas  de Peano,  escribimos  cinco afirmaciones.  Cuando  contamos  los axiomas  de Peano hacemos lo mismo que cuando  le contamos  los pies a un gato.  Podrá discutirse sobre  qué  es lo que hacemos,  pero,  ciertamente, no estamos  demostrando un teorema  formal.

Giuseppe Peano
Antes de continuar debo hacer una advertencia al lector:  Los resultados que vamos  a estudiar son todos  hechos conocidos sobre la lógica  de primer  orden, que  merecen  el respeto  y la  consideración habituales para  con los resultados matemáticos,  sin embargo,  entre  ´estos,  hay interpretaciones subjetivas con las que unos lógicos y matemáticos estarán de acuerdo  mientras que otros  podrán discrepar. Mi intención no ha sido la de exponer imparcialmente todos los puntos  de vista  posibles,  sino la de decantarme en cada  momento  por  lo que me parece más adecuado,  de modo que el lector es libre de estar  de acuerdo  o discrepar de lo que lea.  Si el lector opta por lo segundo, deber´ıa tener presente  que hay dos formas de discrepar:   una  destructiva y estéril, consistente únicamente en discrepar, y otra  constructiva y enriquecedora, consistente en proponer  una alternativa. Tengo  la convicción de que el lector  que trate de discrepar constructivamente no discrepará mucho.

La diferencia  esencial entre  una  afirmación o un razonamiento matemático y una  afirmación o un  razonamiento metamatemático es que  los primeros  se apoyan  esencialmente en  una  teoría axiomática, y los segundos  no.  Cuando afirmamos  que  “los  poliedros  regulares  son  cinco”,  aunque  literalmente esto es una  afirmación en castellano,  si la consideramos  como una  afirmación matemática  correcta  es porque  podríamos  enunciarla en el lenguaje  de la teoría de conjuntos y demostrarla según la lógica de la teoría de conjuntos.  Por  el contrario, la afirmación “los axiomas  de Peano  son cinco” es una afirmación en castellano,  que podríamos traducir al inglés o al francés, pero no tiene  sentido considerarla como un teorema  integrante de un sistema  axiomático (2).  Todo matemático, tanto si conoce explícitamente la teoría axiomática en la que trabaja como si no, entiende  perfectamente qué  es razonar  formalmente en el seno de una  teoría y, aunque  no sepa —conscientemente— mucha  lógica, entiende  que eso es precisamente lo que hace  y lo que da  rigor  a su trabajo.  El problema es, pues, explicar  cómo puede razonarse  de forma rigurosa  fuera de toda  teoría axiomática.  Dedicaremos  a este problema  las secciones siguientes. Para  acabar ésta añadiremos únicamente la siguiente  advertencia:

Un matemático puede  encontrar esotéricos e incomprensibles o naturales y simples los resultados de los capítulos siguientes,  no en función de su inteligencia o de su capacidad como matemático, sino exclusivamente en función de su capacidad de librarse  de los prejuicios  o de la “deformación profesional”  que le impidan  asumir  que no está  leyendo un libro de matemáticas.  Si decide prescindir  de las indicaciones  que acompañan a los resultados, más cercanas  a la filosofa que a la matemática en sí, corre el riesgo de entender todos  los pasos intermedios pero no entender ninguna  de las conclusiones.

El  formalismo radical

Antes  de esbozar  una  concepción razonable  para  la metamatemática, será conveniente  que descartemos de antemano la alternativa a la que es proclive una  buena  parte  de los matemáticos no familiarizados  con la lógica:  el formalismo  radical. Ya hemos comentado que las contradicciones que achacaban a la matemática de finales del siglo XIX fueron desterradas estipulando unos axiomas y unas  reglas de razonamiento lógico cuidadosamente seleccionadas  para  este fin. Más allá de cubrir  esta necesidad elemental  de consistencia, el método axiomático proporciona al matemático una  seguridad  sin precedentes: decidir si un razonamiento es válido o no cuando la teoría a la que pretende integrarse esta´ debidamente axiomatizada es mera cuestión de cálculo, una tarea  mecánica que, al menos en teoría, puede realizar incluso un ordenador debidamente programado.

Esto ha hecho que algunos matemáticos, convencidos de que el método axiomático es todo lo que necesitan  para  su trabajo, no reconozcan  otra  forma de razonamiento legitimo.  Un formalista  radical  es alguien  que no acepta  un razonamiento a no ser que venga precedido de una enumeración de los conceptos que va a involucrar y de los axiomas que se van a aceptar sin prueba,  y de modo que todo cuanto  siga sean consecuencias  lógicas formales de los axiomas  dados (sin perjuicio de que, en la mayor´ıa de los casos, estos principios  se omitan  por consabidos).

David Hilbert
Es importante destacar el significado del adjetivo “formal” en la expresión “consecuencias  lógicas formales”. Una deducción formal es una deducción que no tiene en cuenta para nada  el posible  significado  de las afirmaciones  que involucra. Por ejemplo, de “todo  H es M” y “S es H” se deduce formalmente que “S es M”, sin que importe lo más mínimo a qué hagan referencia las letras H, M y S.  Si uno quiere ver ahı el silogismo “Todos los hombres son mortales”, “Sócrates es un hombre”, luego “Sócrates es mortal”, es libre de pensarlo así, pero la validez del razonamiento no depende de esa interpretación ni de ninguna otra (3).

Hilbert fue el primero en concebir la posibilidad  de reducir la totalidad de la matemática a una teoría axiomática formal, idea extremadamente fructífera y poderosa.  La falacia del formalista radical —en la que, desde luego, Hilbert no cayó— consiste  en creer que no hay nada más. En  las secciones siguientes veremos qué más hay, pero en ésta hemos de convencernos  de que algo más tiene que haber.

No es cierto que el formalismo radical baste para fundamentar la matemática. El problema  es que establecer un lenguaje, unos axiomas y unas reglas de razonamiento requiere  ciertos razonamientos: hay que discutir  cuáles son los signos del lenguaje, cuáles son las combinaciones aceptables de esos signos, cuáles de ellas se toman  concretamente como axiomas, hay que demostrar algunos hechos generales sobre demostrabilidad, etc. ¿Cómo podrían entenderse esos razonamientos  si no admitiéramos razonamientos que no provengan de unos axiomas prefijados?, ¿hemos de presentar exclamativamente la metamatemática?, ¿y cómo presentamos los axiomas necesarios para axiomatizar la metamatemática?, ¿Hemos de construir una metametamatemática?

Por poner un ejemplo explicito: La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es el sistema axiomático comúnmente aceptado como fundamento de la matemática. En  efecto, a partir de sus axiomas  se pueden  demostrar todos los teoremas matemáticos, en particular de ellos se deducen  las propiedades de los conjuntos infinitos.  Un formalista  radical sólo aceptará razonamientos que involucren el concepto  de infinitud  a partir del momento  en que las propiedades de los conjuntos infinitos se hayan  demostrado a partir de los axiomas, pero sucede que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel tiene infinitos axiomas.  Por con- siguiente, el formalismo  radical  conduce  a descalificar  como falto de rigor a su propio canon de rigor.  Por  eso sólo son formalistas radicales  quienes, con independencia  de su capacidad como matemáticos, jamás han abordado con detalle —no a nivel teórico general,  sino a nivel técnico— el problema de fundamentar rigurosamente la matemática.


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. Notas:
(1) Ciertamente, esta   concepción  radicalmente  formalista de  las  matemáticas  es  más  que cuestionable. En realidad no afirmo  que las matemáticas sean  sólo esto,  sino tan sólo que éste es exactamente el significado que tendrá el término “matemático” a lo largo  de este  libro.
(2) En  realidad la meta-matemática sí  puede formalizarse, como  cualquier teoría  razonable, pero  lo cierto es que en nuestro contexto no podemos hacerlo, por lo que es más aproximado a la verdad decir que  no tiene sentido considerar a sus afirmaciones como  teoremas de ninguna teoría formal.
(3) Por eso una  buena definición del formalista (radical) es la que lo caracteriza como alguien incapaz de entender algo a menos  que  carezca de significado. 

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Introducción a la lógica matemática (1)

por el Profesor Carlos Ivorra Castillo

El pensamiento humano ha ido forjándose a lo largo de la Historia en una interminable batalla por encontrar la veracidad de sus planteamientos. La filosofía, la física y las matemáticas han sido los centros hiperespecializados que dirimen esa batalla por la concreción, la argumentación, la deducción y, en suma, por hallar los valores de la verdad y la razón.

Y en este caso, ¿te imaginas a ti mismo leyendo con interés un libro sobre matemáticas? Pues eso es lo que espero cuando leas esta introducción a la lógica matemática extraída del libro del Profesor Carlos Ivorra Castillo, "Lógica y Teoría de Conjuntos". Y espero que te leas el libro entero, o casi. Soy de la opinión que cuando las cosas se explican de otra manera, las ideas pueden fluir por otros caminos hasta el momento impensados.



Introducción a la  lógica matemática


La  lógica y su  historia

Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio  del razonamiento. Esto hoy en día puede  considerarse  desbordado por  la  enorme extensión y diversidad que  ha  alcanzado esta  disciplina,  pero puede servirnos como primera  aproximación a su contenido.

Un matemático competente distingue  sin  dificultad  una  demostración correcta  de  una  incorrecta, o mejor  dicho,  una  demostración de  otra  cosa  que aparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo,  no le preguntéis qué es lo que en- tiende  por demostración, pues —a menos que además sepa lógica— no os sabrá responder,  ni falta  que le hace.  El matemático se las arregla  para  reconocer  la validez de un argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio,  de total  fiabilidad.  No necesita  para  su tarea  contar  con un concepto  preciso de demostración.  Eso es en cambio lo que ocupa al lógico: El matemático demuestra, el lógico estudia  lo que hace el matemático cuando demuestra.

Aquı  se vuelve  obligada  la pregunta de hasta  qué  punto  tiene  esto  interés y hasta  qué punto  es una  pérdida de tiempo.   Hemos dicho que el matemático se las arregla  solo sin necesidad  de que nadie le vigile los pasos, pero entonces, ¿qué hace ahí el lógico?  Posiblemente la mejor forma de justificar  el estudio  de la lógica sea dar una visión, aunque breve, de las causas históricas que han dado a la lógica actual  tal grado de prosperidad.

En el sentido  más general  de la palabra, el estudio  de la lógica se remonta al siglo IV a.C.,  cuando Aristóteles la puso a la cabeza  de su sistema  filosófico como materia indispensable para  cualquier  otra  ciencia.  La lógica aristotélica era bastante rígida y estrecha  de miras,  pero con todo pervivió casi inalterada, paralelamente al  resto  de  su  doctrina, hasta  el siglo XVI.  A partir de  aquí, mientras su  física fue sustituida por  la  nueva  física de  Galileo  y Newton,  la lógica simplemente fue ignorada.   Se mantuvo, pero en manos  de filósofos y en parte  de los matemáticos con inclinaciones  filosóficas, aunque  sin jugar  ningún papel  relevante  en el desarrollo  de las ciencias. Leibniz le dio cierto  impulso, pero sin abandonar una  postura conservadora. A principios  del siglo XIX, los trabajos de Boole y algunos  otros  empezaron a relacionarla más  directamente con la matemática, pero sin obtener  nada que la hiciera especialmente relevante (aunque  los trabajos de Boole cobraron importancia más tarde  por  motivos quizá distintos de los que él mismo tenía in mente).

Así pues, tenemos que, hasta  mediados  del siglo XIX, la lógica era poco más que  una  curiosidad  que  interesaba a quienes  sentían alguna  inquietud por  la filosofía de la matemática o del pensamiento en general. La logica como hoy la entendemos surgió básicamente con los trabajos de Frege y Peano.  En principio estos  eran,  al igual  que los anteriores, nuevos  ensayos  sobre  el razonamiento, si bien  más complejos  y ambiciosos.  Lo que  les dio  importancia fue que  no aparecieron como productos de  mentes  inquietas, sino como culminación del proceso  de  formalización que  la  matemática venía experimentando desde  los tiempos  de Newton  y Leibniz.

Gottlob Frege
En efecto, el cálculo infinitesimal  que estos trazaron con tanta imaginación y que después desarrollaron CauchyGauss  y otros,  tuvo  que ser precisado  a medida  que  se manejaban conceptos  más generales  y abstractos. Dedekind, Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matemática hasta  el punto  de dejarla  construida esencialmente a partir de los números naturales y de las propiedades elementales sobre los conjuntos. La obra de Frege y de Peano pretendía ser el ultimo eslabón de esta  cadena. Trataron de dar  reglas  precisas  que de- terminaran completamente la labor del matemático, explicitando los puntos  de partida que haba que suponer así como los métodos usados para deducir nuevos resultados a partir de ellos.

Si sólo fuera por esto, probablemente este trabajo habría acabado  como una curiosidad  de presencia obligada en las primeras paginas de cada libro introductorio a la matemática y que continuaría interesando tan sólo a los matemáticos con inclinaciones  filosóficas. Pero  sucedieron  hechos que confirmaron  la necesidad de la lógica como herramienta matemática. A finales del siglo XIX, Georg Cantor creó y desarrolló la parte  más general y más abstracta de la matemática moderna:  la teoría de conjuntos. No pasó mucho tiempo  sin que el propio Cantor, junto  con otros muchos, descubriera descaradas contradicciones en la teoría, es decir, se obtenían demostraciones de ciertos hechos y de sus contrarios, pero de tal forma que burlaban el ojo critico del matemático, tan de fiar hasta entonces. Se obtenían pares de pruebas  de forma que cada una por separado  parecía irreprochable pero que ambas  juntas eran inadmisibles.

El  ejemplo  más simple  de  estos  resultados fue  descubierto por Bertrand Russell al  despojar  de  contenido  matemático a otro  debido  a Cantor:  En  la teoría cantoriana se puede hablar  de cualquier conjunto  de objetos con tal de que se especifiquen  sus elementos sin ambigüedad alguna.  En  particular podemos considerar  el conjunto R cuyos elementos  son exactamente aquellos  conjuntos que no son elementos  de sí mismos. Es fácil  ver que si R es un  elemento  de sí mismo,  entonces  por  definición no debería serlo,  y viceversa.  En  definitiva resulta  que R no  puede  ni  pertenecerse como  elemento  ni  no  hacerlo. Esto contradice a la lógica más elemental.

El lector puede pensar  que esto es una tontería y que basta  no preocuparse de estas cosas para librarnos  de tales problemas, sin embargo sucede que contra- dicciones similares surgen continuamente en la teoría pero afectando a conjuntos no tan  artificiales  y rebuscados  como pueda  parecer  el conjunto R, sino a otros que  aparecen  de forma  natural al trabajar en la materia.  En  cualquier  caso estos  hechos  mostraban que el criterio  que confiadamente han  venido  usando desde siempre  los matemáticos no es inmune  a errores  difíciles —por no decir imposibles— de detectar, al menos al enfrentarse a la teoría de conjuntos.

La primera  muestra de la importancia de la lógica fue un estrepitoso fracaso. Frege había creado (tras  mucho tiempo  de cuidadosa  reflexión) un sistema  que pretendía regular  todo  el razonamiento matemático, de manera  que cualquier resultado que un matemático pudiera  demostrar, debería poder demostrarse siguiendo  las reglas que con tanto detalle  había descrito. Russell observó que la paradoja antes citada  podía probarse  en el sistema de Frege y que, a consecuencia de esto, cualquier afirmación, fuera la que fuera, podía ser demostrada según estas reglas, que se volvían, por tanto, completamente inútiles.

Este desastre, no obstante, mostraba que la laboriosa  tarea  de Frege no era en modo alguno trivial,  y urgía encontrar una sustituta a su fallida teoría.  Con el tiempo surgieron  varias opciones.  La primera fueron los “Principia Mathematica” de Whitehead y Russell,  de una  terrible  complejidad lógica, a la que siguieron muchas  teorías bastante más simples aunque  quizá menos naturales. Destacan entre ellas las teorías de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Ambas constan de unos principios básicos (axiomas)  y unas  reglas  precisas de demostración que permiten deducir de ellos todos los teoremas matemáticos y —hasta  donde hoy se sabe— ninguna contradicción.

De esta  forma la lógica ha probado ser indispensable a la hora de trabajar en teoría de conjuntos, hasta el punto de que es inconcebible el estudio de ésta sin un buen conocimiento de aquélla.

El contenido de la lógica matemática

En  el apartado  anterior hemos mostrado una  de las funciones  principales  de la lógica matemática:  servir  de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa  de lo que es un razonamiento matemático valido. Pero cuando la necesidad obliga al estudio de un determinado campo, el esfuerzo pronto  es premiado  con nuevos resultados inesperados:

Si uno tiene paciencia o un libro de geometría a mano, puede coger una regla y un  compás y dibujar un  pentágono regular. Si ahora  prueba  suerte  con un heptágono no encontrará ningún libro de ayuda  y la paciencia servirá de muy poco. Puede  probarse  que es imposible construir un heptágono regular  sin más ayuda  que una  regla  (no  graduada) y un  compás, pero, para  demostrarlo no basta  con coger una regla y un compás y terminar no construyéndolo. Es necesario reflexionar  sobre qué es construir con regla y compás, dar  una  definición precisa,  comprobar que ´esta se corresponde  con lo que usualmente se entiende por construir con regla y compás y, finalmente,  ver que eso es imposible para  el caso del heptágono regular.

Igualmente, el tener  una  noción precisa  de demostración nos permite  comprender  y resolver  problemas  que  de otro  modo  serian  inabordables:  cuando un matemático hace una  conjetura, puede  meditar sobre ella y, si tiene suerte, la demostrará o la refutará.  Pero  también puede  ser que no tenga  suerte  y no consiga ni lo uno ni lo otro.  Esto  ultimo puede  significar dos cosas:  que no es lo suficientemente buen matemático o que pretenda un imposible.  Cantor llegó a la locura en gran parte  por la frustración que le producía el no lograr decidir la verdad  o falsedad  de una  de sus conjeturas, la llamada  hipótesis  del continuo.  Con ayuda  de la nueva  lógica se ha probado  que ésta no puede  probarse ni refutarse, y no se trata de un caso aislado.  Sucede que estas afirmaciones  no surgen sólo en teoría de conjuntos, donde son el pan  de cada  día, sino que son también abundantes en el análisis y la topología, incluso hay casos en álgebra. Por  ello el matemático necesita  en ocasiones de la lógica para  determinar sus propias  posibilidades  y limitaciones.  El  establecer  este  tipo  de resultados de independencia es una  de las partes  más importantes de la lógica aplicada  a la teoría de conjuntos.

Kurt Gödel
Por  otra  parte,  toda teoría suficientemente rica contiene  resultados de interés interno, en sí mismo.  La lógica moderna,  principalmente de la mano  de Gödel, ha obtenido  resultados sorprendentes e interesantísimos que nos permiten comprender mejor la capacidad y las limitaciones del razonamiento humano, resultados que justifican  por sí solos el estudio de la lógica.  Por ejemplo:  ¿Puede un matemático probar  que 2 + 2 = 5? El lector que responda:  “Claramente no”, o “No, porque es mentira”, o “No, porque 2 + 2 = 4”, o similares, no tiene claros ciertos  conceptos  lógicos.  Esta´ claro que un matemático puede  demostrar que 2 + 2 = 4, más aún, está claro que 2 + 2 = 4, pero el problema  es que la existencia de una demostración de que 2 + 2  ≠ 5 o incluso de la falsedad de que 2 + 2 = 5 no aportan la menor garantía de que no pueda  traer  alguien unos cuantos folios escritos según las “costumbres” de razonamiento de los matemáticos, aun cumpliendo  todas  las condiciones  que estipulan los lógicos,  pero  que termine  con la conclusión 2 + 2 = 5.  ¿Por  qué no puede  ser?  No es un problema  evidente, hasta  el punto  de que puede probarse  —como consecuencia del llamado segundo teorema de incompletitud de Gödel— que es imposible garantizar que no exista tal catastrófica prueba.  Lo demostraremos en su momento.

Sin  animo  de  ser  exhaustivos,  podríamos decir  que  la  lógica moderna  se divide en cuatro  áreas:

a)  Teoría de la demostración.
b)  Teoría de modelos.
c)  Teoría de la recursión.
d)  Teoría de conjuntos.

En  esta  primera  parte  haremos especial hincapié en la teoría de la demostración, que es la parte  más clásica de la lógica, y usaremos la teoría de modelos y la teoría de la recursión como auxiliares  para  el estudio  de la primera. Finalmente aplicaremos  los resultados que obtendremos a la teoría de conjuntos como ejemplo más significativo.  Vamos a probar  la mayoría de los resultados clásicos de la teoría de la demostración, mientras que la teoría de modelos y la teoría de la recursión serán tocadas  muy superficialmente, con la suficiente  profundidad como para  obtener  resultados importantes que  nos serán  necesarios,  pero  no como para  formarnos  una idea del trabajo que se lleva a cabo en estos campos. Este  planteamiento es el más  conveniente  para  los objetivos  que perseguimos, que son dos:  por  una  parte  dotar  al lector  de un  bagaje  lógico  más  que suficiente  para  abordar con comodidad  el estudio  de la teoría de conjuntos, y por otra,  tratar de explicar a través de estos resultados la naturaleza del trabajo del matemático.


- Lectura recomendada y relacionada del mismo autor, aquí .
- Más libros de Carlos Ivorra, aquí y aquí

. imágenes, primera ilustración combinada, las restantes de Wikipedia.
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Un Universo enlazado

Referencia: ThunderBolts.info .
por Stephen Smith, 18 de agosto 2014

Un comunicado de prensa de la Universidad de California, Santa Cruz (UCSC), se informa de las observaciones de una estructura filamentosa que comprende el Universo. Una nebulosa que excede los 2 millones de años luz de diámetro, y que rodea a una fuente de radio cuasi-estelar (cuásar) conocida como UM287, se dice que revela los primeros indicios de una red cósmica en la que existen toda la materia y la energía.

Según J. Xavier Prochaska, profesor de astronomía y astrofísica en la Universidad de California en Santa Cruz: "Este quásar está iluminando el gas difuso a escalas que van mucho más allá d lo que hayamos visto antes, dándonos una primera imagen del gas extendido entre las galaxias. Ofrece una visión excelente en la estructura general de nuestro universo."

El modelo estándar del Universo establece que las galaxias están incrustadas en una nube difusa de gas y polvo conocido como "materia bariónica". Los bariones son lo que se conoce comúnmente como "materia normal", o átomos. Sin embargo, junto con los bariones, la opinión de consenso entre los astrofísicos es que hay una mucho mayor concentración de "materia no bariónica", también conocida como "materia oscura", y que comprende más del 80% de toda la masa del cosmos.

Cúmulo de Coma
Se cree que la materia oscura es esencial para la evolución a gran escala del Universo, ya que la solamente la gravedad es insuficiente, en un Universo bariónico, para que puedan formarse las galaxias. Después de estudiar el Cúmulo de Coma en 1933, Fritz Zwicky descubrió que sus cálculos para la aceleración orbital y la masa estelar que conlleva se salían en un factor de alrededor de 160. Él pensó que algo invisible para sus instrumentos mantenía al grupo junto. Ese "algo" más tarde se conoció como materia oscura. Eso le hizo suponer que la gravedad de la materia oscura es la que permitiría que las galaxias se condensaran, así como que mantuvieran sus formas.

La materia oscura es invisible a cualquier instrumento, por lo que los astrónomos dependen de las observaciones de la materia visible a fin de probar sus teorías, incorporando esas observaciones en sus modelos de ordenador basados en la actividad de la materia oscura. Tal es el caso de este reciente informe. Dado que la UM287 emite radiación intensa, los gases y el polvo de su alrededor la absorben y la vuelven a emitir en la "banda de Lyman-alfa" de luz ultravioleta. Es en ese brillo de la nebulosa que los astrónomos ven indicios de una estructura filamentosa.

UM287
Como postula la teoría de la mecánica cuántica, los electrones tienen carga negativa, por lo que se sienten atraídos a los protones nucleares por una fuerza llamada "energía de enlace". Cada órbita "n" posee su propio valor de la energía de enlace expresada en "electrón-voltios". Cuanto más cerca se encuentra un electrón del núcleo de protones de un átomo de hidrógeno, mayor es la energía de enlace. Conforme un electrón salta de una órbita con una inferior energía de enlace a una órbita con mayor energía (n2 a n1 por ejemplo), emite luz ultravioleta a una frecuencia específica. La luz del salto de n2 a n1 corresponde a 121,6 nanómetros y se llama radiación "Lyman-alfa", llamada así por Theodore Lyman, quien la descubrió en 1906.

Es probable que el Universo está construido por hilos de materia. Sin embargo, tales hilos son más que probable que sean de naturaleza eléctrica. Uno de los fundamentales principios de la teoría del Universo Eléctrico es que la electricidad fluye a través del gas ionizado, también conocido como plasma, capaz de crear enormes filamentos electromagnéticos llamados Corrientes de Birkeland. Estas primordiales fuerzas eléctricas son de órdenes de magnitud mucho mayores que la gravedad. Las Corrientes de Birkeland se atraen entre sí en una relación lineal de, inexorablemente, más potencia y mayor alcance que la gravedad. Esto significa que son los más fuertes atractores de largo alcance del Universo.

La iluminación de la UM287 no es, probablemente, quien esté creando ese resplandor ultravioleta que detectan los astrónomos. En el Universo Eléctrico, las nebulosas, sin importar su escala, puede ser identificadas más convenientemente como el resplandor de un tubo de descarga de gas, parecido a una lámpara de neón. Una descarga eléctrica a través del plasma en forma de capas dobles a lo largo del eje actual. La carga positiva se acumula en un lado de esta "vaina" y la carga negativa en el otro. El campo eléctrico se desarrolla entre ambos lados, y si se aplica suficiente corriente la vaina brilla, de lo contrario es invisible. Las corrientes eléctricas fluyen por dentro y a través de las vainas.

Las vainas eléctricas, normalmente invisibles, son "bombeadas" con la energía adicional de las corrientes de Birkeland donde están inmersas. Las fuerzas electromagnéticas dibujan la materia del espacio circundante en filamentos. La energía eléctrica lo empuja a un "modo resplandeciente".


- imagen: Ilustración "Frecuencia Cósmica" por Simon Haduk.
- imágenes 1 Cúmulo Coma y UM287.
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Restablecer el sistema inmune de hace 500 millones de años

por Dr. Thomas Boehm, 18 de agosto 2014

El posible que un único factor pueda restablecer el sistema inmunológico de unos ratones a un estado probablemente similar al que era hace 500 millones de años, cuando aparecieron los primeros vertebrados.

Los científicos del Instituto Max Planck de Inmunobiología y Epigenética (MPI-IE) en Freiburg, han reactivado la expresión de un gen antiguo, el cual no se expresa normalmente en el sistema inmunitario de los mamíferos, y hallaron que estos animales desarrollaron un timo como los peces. Para sorpresa de los investigadores, mientras que el timo de los mamíferos se utiliza exclusivamente para la maduración de células T, el reinicio del timo produjo no sólo células T, sino también sirvió como sitio de maduración de las células B, una propiedad que, normalmente, sólo se ve en el timo de los peces. Así pues, el modelo podría proporcionar una explicación de cómo el sistema inmune se ha ido desarrollando en el transcurso de la evolución. El estudio ha sido publicado en Cell Reports.

La respuesta inmune adaptativa es única en los vertebrados. Uno de sus órganos principales es el timo, que existe en todas las especies de vertebrados. Las células epiteliales del timo controlan la maduración de células T, que más tarde combaten a las células corporales degeneradas o infectadas. El gen FOXN1 es responsable del desarrollo de lass células T en el timo de los mamíferos. Los científicos dirigidos por Thomas Boehm, director del MPI-IE y jefe del departamento de inmunología del desarrollo, activaron el ancestro evolutivo de FOXN1, llamado FOXN4, en las células epiteliales del timo de unos ratones. El FOXN4 está presente en todos los vertebrados, aunque parece desempeñar solamente un papel en la maduración de las células del sistema inmune de los peces con mandíbulas, como tiburones gato y el pez cebra.

"La expresión simultánea de FOXN4 y FOXN1 en el ratón condujo a un timo que mostraba propiedades como el de los peces", declaró el primer autor Jeremy Swann. Junto con los resultados anteriores, esto sugiere que el desarrollo y la función del tejido del timo fueron iniciados originalmente por FOXN4. Debido a una duplicación génica evolutiva, que condujo al FOXN1, transitoriamente ambos genes, y finalmente sólo el FOXN1, estuvieron activos en el timo.

La sorpresa fue que desarrollaban en el timo las células T y también las células B. Las células B maduras son responsables de la producción de anticuerpos. En los mamíferos, normalmente no maduran en el timo, sino en otros órganos, como la médula ósea.

"Nuestros estudios sugieren un escenario plausible para la transición de un tejido linfopoyético bipotente a un órgano linfoide que soporta principalmente el desarrollo de células T," dijo Boehm. Como las células B y las células T aún son indistinguibles, no queda claro si el desarrollo de células B se basa en la migración de precursores de células B dedicados en la timo, o en la maduración de progenitores  T/B compartidos en el timo. A menudo, los estudios comparativos sugieren que el origen de una innovación evolutiva particular tendría que haber ocurrido en una especie extinta. "Aquí, la recreación y el análisis funcional de las presumibles etapas ancestrales podrían ofrecernos conocimientos esenciales sobre el transcurso de tales acontecimientos", según explica Boehm el su enfoque del estudio.


- Artículo original "500 million year reset for the immune system"
- imagen: El timo de ratón normal (izquierda) contiene sólo una pequeña fracción de células B (rojo). Si se activa el gen FOXN4, se desarrolla un timo como el de un pescado con muchas células B. Es probable que ese estado haya existido hace unos 500 millones de años, en el tiempo en que aparecieron los primeros vertebrados. © Max Planck Institute of Immunobiology & Epigenetics
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Los neandertales coexistieron con los humanos durante más de 5.000 años

Referencia: Sci-News.com , 21 de agosto 2014

Los humanos anatómicamente modernos y los neandertales convivieron juntos en Europa hasta 5.400 años, según un nuevo estudio realizado por el investigador y profesor, Thomas Higham, de la Universidad de Oxford y sus colegas.

Neanderthal. Crédito: Trustees of the Natural History Museum, London.
Equipo del profesor Higham ha obtenido nuevas fechas de radiocarbono de alrededor de 200 muestras de 40 sitios del Paleolítico, que van desde Rusia hasta España.

Estos sitios están relacionados con la industria de fabricación de herramientas neandertales, conocido como Musteriense, es decir, que eran sitios de transición que contienen herramientas de piedra asociadas con los primeros humanos modernos o con Neandertales (culturas Uluzzian y Chatelperroniense).

Los científicos combinaron las nuevas dataciones de radiocarbono con las evidencias estratigráficas arqueológicas establecidas, a fin de construir una línea de tiempo robusta que muestre cuándo se extinguieron los últimos neandertales.

"Creemos que ahora tenemos la primera línea arrojando nueva luz sobre algunas de las cuestiones clave en torno a las posibles interacciones entre neandertales y los humanos modernos", señala el profesor Higham, autor principal del artículo publicado en Nature.

La cronología muestra que los neandertales coexistieron con los humanos, anatómicamente modernos, durante un periodo significativo, hasta 5.400 años largos, esto proporciona el "tiempo suficiente" para la transmisión de comportamientos culturales y simbólicos, así como el posible cruzamiento genético entre ambos grupos.

Ubicaciones y rangos de edad límite en los 40 sitios analizados por el profesor Thomas Higham y sus colegas. Crédito de la imagen: Tom Higham et al.

En virtud de esta nueva línea de tiempo, la industria musteriense debió haber terminado hace entre 41.030 a 39.260 años.

En estudios anteriores se había sugerido que la Península Ibérica y el sitio de la cueva de Gorham en Gibraltar, podrían haber sido los últimos lugares de Europa donde pudieron sobrevivir los neandertales. A pesar de una extensa labor de citas, el equipo del Prof. Higham no pudo confirmar las fechas anteriores.

"Las dataciones por radiocarbono anteriores a menudo han subestimado la edad de las muestras de estos sitios asociados a los neandertales, debido a que la materia orgánica está contaminada con partículas modernas", dijo el profesor Higham.

Distribución geográfica de las culturas Chatelperroniense, Uluzzianense y musterienses, y los rangos de edad para el inicio y final de las dos primeras, la frontera final musteriense se muestra para su comparación. Crédito de la imagen: Tom Higham et al.

"Se utilizaron los métodos de ultrafiltración, que purifican el colágeno extraído de los huesos, para evitar el riesgo de contaminación moderna."

"Esto significa que podemos decir con más confianza que, finalmente hemos resuelto el momento de la desaparición de nuestros primos cercanos, los neandertales."

Esta nueva línea de tiempo también sugiere que los neandertales desaparecieron en diferentes momentos a lo largo de toda Europa, en vez de un rápido reemplazo por los humanos modernos.


- Publicación: Tom Higham et al. 2014. “The timing and spatiotemporal patterning of Neanderthal disappearance”. Nature 512, 306–309; doi: 10.1038/nature13621.
- imagen.1. Neanderthal. Crédito: Trustees of the Natural History Museum, London.
- imagen.2. Ubicaciones y rangos de edad límite en los 40 sitios analizados por el profesor Thomas Higham y sus colegas. Crédito de la imagen: Tom Higham et al.
- imagen.3. Distribución geográfica de las culturas Chatelperroniense, Uluzzianense y musterienses, y los rangos de edad para el inicio y final de las dos primeras, la frontera final musteriense se muestra para su comparación. Crédito de la imagen: Tom Higham et al.
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Regeneración tisular usando nanomoléculas anti-inflamatorias

Referencia: EurekAlert.org .
contacto: Peggy Murphy 22 agosto 2014

Un equipo ha desarrollado un sistema que puede proteger contra las reacciones inflamatorias.

Cualquier persona que haya sufrido una lesión probablemente puede recordar sus efectos posteriores que incluyen dolor, hinchazón o enrojecimiento. Estas son señales de que el cuerpo está luchando contra la lesión. Cuando el tejido del cuerpo está dañado, se activan programas biológicos para ayudan a regenerar de tejidos. Una respuesta inflamatoria actúa como un mecanismo de protección que permite la reparación y regeneración, ayudando al cuerpo a sanar después de lesiones como heridas y quemaduras.

Sin embargo, este mismo mecanismo puede interferir en la curación en las situaciones en las que se introduce un material extraño, por ejemplo, cuando se injertan sintéticos en la piel para la reparación dérmica. En tales casos, la inflamación puede conducir a la fibrosis del tejido y crear un obstáculo para la adecuada función fisiológica.

El grupo de investigación de Arun Sharma, ha estado trabajando en enfoques innovadores para la regeneración de tejidos a fin de mejorar la vida de los pacientes con disfunción de la vejiga urinaria. Entre sus avances había un modelo médico para regenerar vejigas, utilizando células madre obtenidas de la propia médula ósea del donante, según se informó en Proceedings of the National Academy of Sciences en 2013.

Más recientemente, el equipo ha desarrollado un sistema que puede proteger contra la reacción inflamatoria que pueda afectar negativamente al crecimiento, desarrollo y función de los tejidos, los peptide amphiphiles (PAs) de auto ensamblaje son nanomateriales biocompatibles y biodegradables que han demostrado una utilidad en una amplia gama de entornos y aplicaciones. Usando un ya establecido modelo de aumento de la vejiga urinaria, el Grupo Sharma ha tratado este paso biológico altamente pro-inflamatorio, utilizado en una amplia gama de configuraciones con los peptide amphiphiles anti-inflamatorios (AIF-AP). Cuando se compara con las AP de control, el paso tratado demostró su capacidad de regeneración en la modulación de la respuesta inflamatoria innata, dando lugar a una función superior de la vejiga.

Este trabajo se publica en el journal Biomaterials. Sharma dice, "nuestros hallazgos son muy relevantes, no sólo para la regeneración de la vejiga, sino para otros tipos de regeneración de tejidos en los que se utilizan materiales extraños para el soporte estructural. Preveo también una utilidad potencial de estas nanomoléculas para el tratamiento de una amplia gama de disfuncionalidades producto de enfermedades inflamatorias."


- Fuente: Children's Memorial Hospital .
- Este trabajo se realizó en colaboración con el Laboratorio de Stupp en el Instituto de BioNanotecnología de Medicina.
- Créditos: Arun K. Sharma, PhD is Director of Pediatric Urological Regenerative Medicine at Ann & Robert H. Lurie Children's Hospital of Chicago; Director of Surgical Research at Stanley Manne Children's Research Institute; Assistant Professor in the Departments of Urology and Biomedical Engineering at Northwestern University Feinberg School of Medicine and Northwestern University; and a member of the Developmental Biology Program of the research institute.
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Cómo actualizar tu cerebro

por Daisy Yuhas, 22 de agosto 2014

Haz a un lado el café, la humanidad pronto tendrá un nuevo energizante favorito. Los científicos están desarrollando tecnologías de retoques del cerebro que no sólo nos harán estar más alerta, sino fundamentalmente alterar la forma en que pensamos, sentimos y nos comportamos. En los próximos años los nuevos dispositivos podrían acelerar las habilidades de pensamiento, mejorar todo tipo de habilidades y, posiblemente, incluso contrarrestar los comportamientos negativos.


Los neurocientíficos ya han demostrado que la estimulación del cerebro con corriente eléctrica podría hacer de nosotros unos alumnos más rápidos. En 2013 un equipo de investigadores de la Universidad de Oxford, la Universidad College de Londres y la Universidad Médica de Innsbruck, en Austria, encontraron que la estimulación de ciertas áreas del cerebro con impulsos débiles de corriente eléctrica podrían mejorar las habilidades matemáticas.

Durante cinco días, los científicos pidieron a 25 estudiantes que pasaran un tiempo memorizando una serie de cálculos. Entre estos, 13 estudiantes fueron revisando los problemas mientras recibían 20 minutos de impulsos eléctricos en la corteza prefrontal dorsolateral, una región del cerebro involucrada en las habilidades matemáticas. Los investigadores descubrieron que los sujetos que habían recibido estimulación fueron significativamente más rápidos en el dominio de los problemas de matemáticas que sus compañeros no estimulados.

Aunque fue un estudio pequeño, los resultados forman parte de un conjunto más grande de hallazgos que apuntan a cómo la electricidad puede aumentar muchos dominios cognitivos distintos. Otros trabajos insinúan que técnicas similares pueden hacer que fluya la creatividad, mejorar la atención y concentración, o ayudar a la gente a dominar con mayor prontitud nuevas lenguas.

Otras tecnologías podrían ampliar nuestra capacidad de almacenar y recuperar recuerdos. Al trabajar con roedores, los investigadores de la Universidad del Sur de California, Los Angeles, y Wake Forest University, han demostrado que los implantes neurales incrustados quirúrgicamente podrían ayudar a la memoria cerebral a largo plazo. Un enfoque como este podría reforzar nuestra capacidad memorística o ayudar a los pacientes con trastornos cerebrales debilitantes.

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[Mi opinión] Este es un pequeño artículo animado por esas tecnologías futuras cuyo objetivo declarado es el de mejorar las capacidades cognitivas del hombre. Dicen que incluso podrá contrarrestar los comportamientos negativos. Desde el punto de vista psicológico, vale; pero si lo miramos desde el punto de vista político surgen preguntas, ¿qué comportamientos van a considerarse negativos, y quién va a valorarlos?

Dice también que un chip implantado podrá mejorar tu memoria, parece prometedor, pero, a su vez pregunto, ¿podrá utilizarse también para controlar qué recordar y qué no? ¿qué tipo de ciudadano saldrá de eso?

Los animosos ciegos de la tecnología no tienen en cuenta que ni la ciencia ni las tecnologías son neutrales, y esta tecnología en manos del poder en qué resultará.

Esta es la otra cara de la moneda, un mundo distópico tan peligroso como controlado.


- Artículo original "Tell Us How You Would Upgrade Your Brain"
- imagen: Combinación de imágenes ciborg.
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